3.反過來推導(dǎo)。反過來推導(dǎo)是一種極其重要的啟發(fā)法，正如前面提到的，Pappus在他的宏篇巨著中將這種手法總結(jié)為解題的最重要手法。實際上，反向解題隱含了解題中至為深刻的思想：歸約。歸約是一種極為重要的手法，一個著名的關(guān)于歸約的笑話這樣說：有一位數(shù)學(xué)家失業(yè)了，去當(dāng)消防員。經(jīng)過了一些培訓(xùn)之后，正式上任之前，訓(xùn)練的人考他：如果房子失火了怎么辦？數(shù)學(xué)家答出了所有的正確步驟。訓(xùn)練人又問他：如果房子沒失火呢？數(shù)學(xué)家答：那我就把房子點燃，這樣我就把它歸約為了一個已知問題。人類思維本質(zhì)上善于“順著”推導(dǎo)，從一組條件出發(fā)，運用必然的邏輯關(guān)系，得出推論。然而，如果要求的未知量與已知量看上去相隔甚遠(yuǎn)，這個時候順著推實際上就是運用另一個啟發(fā)式方法 — 試錯 — 了。雖然試錯是最常用，也是最有效的啟發(fā)法，然而試錯卻并不是最高效的。對于許多題目而言，其要求的結(jié)論本身就隱藏了推論，不管這個推論是充分的還是必要的，都很可能對解題有幫助。如果從結(jié)論能夠推導(dǎo)出一個充要推論，那么實際上我們就將問題進(jìn)行了一次“雙向”歸約，如果原問題不容易解決，那么歸約后的問題也許就容易解決了，通過一層層地歸約，讓邏輯的枝蔓從結(jié)論上一節(jié)節(jié)地生長，我們往往會發(fā)現(xiàn)，離已知量越來越近。此外，即便是從結(jié)論推導(dǎo)出的必要非充分推論（“單向”歸約），對問題也是有幫助的 — 任何不滿足這個推論的方案都不是問題的解。譬如通過駐點來求函數(shù)的最值，我們通過考察函數(shù)的最值（除了函數(shù)邊界點外），發(fā)現(xiàn)它必然有一個性質(zhì)，即在這個點上函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0，雖然一階導(dǎo)數(shù)為0的點未必是最值點，但我們可以肯定的是，任何一階導(dǎo)數(shù)不為0的點都可以排除，這就將解空間縮小到了有窮多個點，剩下的只要做做簡單的排除法，答案就出現(xiàn)了。再譬如線性規(guī)劃中經(jīng)典的單純形算法（又見《Algorithms》⑥），也是通過對結(jié)論的考察揭示出只需遍歷有限個頂點便必然可以到達(dá)最值的。此外很多我們熟知的經(jīng)典題目也都是這種思路的典范，譬如《How To Solve It》上面舉的例子：通過一個9升水的桶和一個4升水的桶在河里取6升水。這個題目通過正向試錯，很快也能發(fā)現(xiàn)答案，然而通過反向歸約，則能夠不偏不倚的命中答案。另一些我們耳熟能詳?shù)念}目也是如此，譬如：100根火柴，兩個人輪流取，每個人每次只能取1～7根，誰拿到最后一根火柴誰贏；問有必勝策略嗎，有的話是先手還是后手必勝？這個問題通過試錯就不是那么容易發(fā)現(xiàn)答案了。同樣，這個問題的推廣被收錄在《編程之美》⑦里面：兩堆橘子，各為m和n個，兩人輪流拿，拿的時候你只能選擇某一堆在里面拿（即不能跨堆拿），你可以拿1～這堆里面所有剩下的橘子，誰拿到最后一個橘子誰贏；問題同上。算法上面很多聰明的算法也都是通過考察所求結(jié)論隱藏的性質(zhì)來減小復(fù)雜度的，譬如剛才提到的單純形問題，譬如經(jīng)典面試題“名人問題”、“和最?。ù螅┑倪B續(xù)子序列”，等等。倒推法之所以是一種極為深刻的思維方法，本質(zhì)上是因為它充分利用了題目中一個最不易被覺察到的信息 — 結(jié)論。結(jié)論往往蘊含著豐富的條件，譬如對什么樣的解才是滿足題意的解的約束。一般來說，借助結(jié)論中蘊含的知識，我們便可以更為“智能地”搜索解空間。舉一個直白的例子，有人要你在地球上尋找一棟滿足如下條件的建筑：__層高（填空自己填），__風(fēng)格，__年代始建，…… （省略若干約束條件）。對于這樣一個問題，最平凡的解法是窮舉地球上每一棟建筑，直到遇到一個滿足條件的為止。而更“智能”的（或者說更“啟發(fā)”的）方法則是充分利用題目里面的約束信息，譬如假若條件里面說要60層樓房，你就不會去非洲找，如果要拜占庭風(fēng)格的，你估計也不會到中國來找，如果要始建于很早的年代的，你也不會去非常新建的城市里面去找，等等。倒推法是如此的重要，以至于笛卡爾當(dāng)時認(rèn)為可以把一切問題歸結(jié)為求解代數(shù)方程組，笛卡爾的萬能解題法就是首先將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后設(shè)出未知數(shù)，列出方程，最后解這組（個）方程。其中設(shè)未知數(shù)本質(zhì)上就是一種倒推：通過設(shè)出一個假想的結(jié)論x，來將題目對x的需求表達(dá)出來，然后順勢而下推導(dǎo)出x。仔細(xì)想想設(shè)未知數(shù)這種手法所蘊含的深刻思想，也就難怪笛卡爾會認(rèn)為它是那個解決所有問題的一般性鑰匙了。