這些一般性的思維方法，就是波利亞用了整整三本書，五卷本（《How To Solve It》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》④、《數(shù)學(xué)與猜想》）來試圖闡明的。波利亞的書是獨特的，從小到大，我們看過的數(shù)學(xué)書幾乎無一不是歐幾里德式的：從定義到定理，再到推論。是屬于“順流而下”式的。這樣的書完全而徹底地扭曲了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的真實過程。舉個例子，《證明與反駁：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯》在附錄一中講了一個非常有趣的例子：柯西當(dāng)年試圖將函數(shù)的連續(xù)性從單個函數(shù)推廣到無窮級數(shù)上面去，即證明由無窮多個連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的收斂級數(shù)本身也是一個連續(xù)的函數(shù)，柯西給出了一個巧妙的證明，似乎漂亮地解決了這個問題。然而傅里葉卻給出了一個噩夢般的三角函數(shù)的收斂級數(shù)，它的和卻并不是連續(xù)的。這令柯西大為頭疼，以至于延遲了他的數(shù)學(xué)分析教程的出版好些年。后來，賽德爾解決了這個問題：原來柯西在他看似無懈可擊的證明中非常隱蔽（他自己也在不知覺的情況下）引入了一個潛在的假設(shè)，這個假設(shè)就是后來被稱為的“一致收斂”條件。當(dāng)時我看到這里就去翻我們的數(shù)學(xué)分析書，發(fā)現(xiàn)“一致收斂”這個概念第一次出現(xiàn)的時候是這樣寫的：定義 — 一致收斂……

所以說，從這個意義上，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》⑤從歷史的角度再現(xiàn)了真實的數(shù)學(xué)發(fā)展過程，是一本極其難得的好書。而事實上，從真實的數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的角度去講授數(shù)學(xué)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)法的最佳方法。不過，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》的弱點是并沒有從思維的角度去再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過程，而這正是波利亞所做的。

總結(jié)波利亞在書中提到的思維方法，尤其是《How To Solve It》中的啟發(fā)式思考方法，有這樣一些：

1.時刻不忘未知量。（即時刻別忘記你到底想要求什么，問題是什么）萊布尼茲曾經(jīng)將人的解題思考過程比喻成晃篩子，把腦袋里面的東西都給抖落出來，然后正在搜索的注意力會抓住一切細微的、與問題有關(guān)的東西。事實上，要做到能夠令注意力抓住這些有關(guān)的東西，就必須時刻將問題放在注意力層面，否則即使關(guān)鍵的東西抖落出來了也可能沒注意到。

2.用特例啟發(fā)思考。一個泛化的問題往往給人一種無法把握、無從下手、或無法抓住里面任何東西的感覺，因為條件太泛，所以看起來哪個條件都沒法入手。一個泛化的問題往往有一種 “不確定性”（譬如元素的個數(shù)不確定，某個變量不確定，等等），這種不確定性會成為思維的障礙，通過考慮一個合適的特例，我們不僅使得問題的條件確定下來從而便于通過試錯這樣的手法去助探問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，同時很有可能我們的特例中實質(zhì)上隱藏了一般性問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，于是我們便能夠通過對特例的考察尋找一般問題的解。