在對陳水扁當選“總統(tǒng)”的分析中，我們可看到民主選舉的結果取決于規(guī)則與程序。通過個人的偏好而揭示群體的偏好是福利經(jīng)濟學研究的對象，而著名經(jīng)濟學家阿羅提出的不可能性定理（被稱為阿羅不可能性定理），對人與人組成的社會的群體理性作了分析。

我們來看這樣一個群體決策。假定有3個群體（可以是3個人），他們對備選方案A、B、C進行表決。方法是兩兩進行比較，即讓投票者對3個方案中的兩個進行分別表決，然后再根據(jù)大多數(shù)規(guī)則決定哪個方案勝出。假定這3個群體的偏好關系如下：

表9-2 一個可能的偏好順序

群體1 群體2 群體3

A B C

B C A

C A B

我們先讓投票者對A和B進行投票。由于群體1和群體3均認為“A優(yōu)于B”，群體2認為“B優(yōu)于A”，這樣，在這輪投票中A以2比1戰(zhàn)勝B。

我們再讓這三個群體對B和C進行投票。群體1和群體2認為“B優(yōu)于C”，群體3認為“C優(yōu)于B”，投票結果是：B以2比1戰(zhàn)勝C。

既然A戰(zhàn)勝了B，B又戰(zhàn)勝了C，似乎是，如果對A與C進行投票，A應當戰(zhàn)勝C。對于任何一個理性的投票人，這是自然的。但是，當群體對A和C進行投票時，C以2比1戰(zhàn)勝了A！

這就是阿羅悖論，又稱為孔多塞投票悖論、循環(huán)投票悖論。當然，投票中不是任何時候都會產(chǎn)生投票悖論。三個群體對3個方案的可能偏好狀態(tài)為216個，出現(xiàn)悖論的狀態(tài)是6個，即悖論的可能性是1/36即2.78%。

投票悖論這個現(xiàn)象所反映的問題具有重大的理論意義，它反映了在社會加總成員偏好過程中，存在致命的缺陷，這正是著名的“阿羅不可能性定理”所揭示的。

這個例子反映的道理是深刻的。如果社會對幾個方案進行表決，如國家選舉總統(tǒng)、某個城市讓市民決定先修建哪個公共事業(yè)工程，等等，這個例子說明，社會投票很可能得出矛盾的結果。

對于社會的選擇問題，阿羅認為，在非獨裁的情況下，不存在任何加總社會個體成員偏好的方法。

所謂加總社會偏好即找到一個社會偏好函數(shù)，阿羅提出了這樣的函數(shù)要滿足4條公設：第一，定義域不受限制，即適合所有的個人的偏好類型；第二，非獨裁，即社會偏好不以一個人或少數(shù)人的偏好來決定；第三，帕累托原則，即所有人的偏好都認為a優(yōu)于b，那么社會偏好也是a優(yōu)于b；第四，獨立性，即不管個人對除了a與b的其他的偏好順序發(fā)生什么變化，只要所有個人對a與b的偏好不變，那么社會對a與b的偏好不變。

這4條公設是基本的，或者自明的。但是，阿羅論證了不存在這樣的社會福利函數(shù)。我們設計出來的揭示偏好的選舉方法，其結果不具有傳遞性，從而會產(chǎn)生矛盾。我們在數(shù)學中的“大于（>）”的關系是具有傳遞性的：如果a>b，并且b>c，那么a>c。如果社會選舉的結果是“a優(yōu)于b”，“b優(yōu)于c”并且“a優(yōu)于c”，那么社會偏好就是滿足傳遞性的，但事實上，在非獨裁的情況下我們往往做不到。這就是阿羅不可能性定理的意思。

阿羅定理指的是，社會沒有一種客觀地反映群體的社會偏好的方法。如果某種偏好得以反映出來，如臺灣陳水扁當選“總統(tǒng)”，或者小布什而不是戈爾當選美國第53任總統(tǒng)，那完全取決于所確定的“民主”的選舉規(guī)則。另外一套規(guī)則得出的完全可能是另外一種結果。

戈爾比小布什多幾十萬張選票，然而美國實行的投票人制度是，誰獲得了某一州的多數(shù)票，那么他就獲得該州所分配的選舉人的選票，小布什與戈爾之爭的關鍵是佛羅里達州的選舉結果，小布什獲勝就在于他以微弱優(yōu)勢獲得了佛羅里達州的25張選舉人票。最后，小布什與戈爾的選票之比為277∶266。小布什獲勝。

你會說，通過一次性投票來決定誰當選，即對候選人或候選方案進行一次性表決，這應該是合理的。但是，這很有可能讓選民最不喜歡的人或方案當選。

舉一個例子。假定有4個候選人，他們是A、B、C、D，假定有26%的人“最喜歡”A，各有25%的人“最喜歡”B和C，有24%的人“最喜歡”D。現(xiàn)在進行一次性投票，A當選。而很有可能的是“最喜歡”B、C、D的那些人“最不喜歡”A，即：“最不喜歡”A的人有74%！在這種規(guī)則下，最多人“最不喜歡”的候選人當選了！這樣的規(guī)則合理嗎？很有可能的是，臺灣的陳水扁就是這里的A。

如果有一種確定了的規(guī)則，并且候選人的競選綱領在選民心里得到確切的定位，即每個選民對不同的候選人確定了其偏好程度，那么結果是確定的。而為什么不同的候選人同意同樣的規(guī)則呢？因為，每個候選人總會盡量以其競選綱領及個人魅力贏得選民的偏好。這里有一個真理：假如你的競選綱領及個人魅力贏得了所有的選民，即對所有選民進行偏好排序，你都是在最前面的，那么在任何選舉規(guī)則下你都會被選中。同樣，如果你永遠排在最后面，那么無論什么規(guī)則，你都不會選中。這一點可以用數(shù)學證明。

同時，候選人接納某種民主的選舉規(guī)則而參與競選，是因為他無法預先知道每個選民的偏好。民主的選舉是人們以此來揭示選民的心理排序情形的方法。阿羅不可能性定理正說明了人的有限理性的悖論。

此外，阿羅定理說的是，社會的選擇方法不可能既是有效率的，又是民主的。因為循環(huán)投票本身就是無效率的，而有效率的方式必須是獨裁的。這就再次揭示了民主和效率的矛盾。當然也有可能是，有效率的獨裁方式能夠揭示民意——當獨裁者和所有的臣民想法相同，但是現(xiàn)實中怎么知道臣民的偏好呢？除非他是上帝，否則揭示臣民的偏好必須通過某種方式，即通過民主的程序來進行。這就是為什么中國的封建統(tǒng)治者常常以上天的兒子即“天子”自居。