4．警察與小偷的故事——混合策略問(wèn)題

納什在《n人博弈的均衡點(diǎn)》這篇論文中，給出了均衡存在的簡(jiǎn)單證明，納什說(shuō)，在n個(gè)人的博弈中至少存在一個(gè)均衡，在這點(diǎn)上雙方均不愿意先改變策略。這里的均衡點(diǎn)有可能是混合策略點(diǎn)。人們稱(chēng)它為納什定理。

什么是混合策略？

我們來(lái)看一個(gè)混合策略的例子。警察部門(mén)負(fù)責(zé)一城市中某一區(qū)的治安。警察要對(duì)該區(qū)的A、B兩地進(jìn)行巡邏。假定該區(qū)有一群小偷，要實(shí)施偷盜。警察要防止這些小偷的偷盜，但因?yàn)樵O(shè)備有限，只有一部警車(chē)，警察只能一次在一個(gè)地方巡邏。而對(duì)于小偷而言，他們也只能去一個(gè)地方。假定A地需要保護(hù)的財(cái)產(chǎn)價(jià)值為2萬(wàn)元，B地的財(cái)產(chǎn)價(jià)值為1萬(wàn)元。若警察在某地進(jìn)行巡邏，而小偷也選擇了去該地，因警察在場(chǎng)，小偷無(wú)法偷盜該地的財(cái)物；若警察沒(méi)有去某地巡邏而小偷選擇了去該地，則小偷偷盜成功。警察怎么巡邏才能使效果最好？

一個(gè)明顯的做法是，警察對(duì)A地進(jìn)行巡邏，小偷去B地，這樣，警察可以保住2萬(wàn)元的財(cái)產(chǎn)不被偷竊，而小偷的穩(wěn)定收益為1萬(wàn)元。但是這種做法是警察的最好做法嗎？警察有沒(méi)有比這種策略更好的策略？

我們可以將警察與小偷之間的這個(gè)支付寫(xiě)成如下的支付矩陣。警察巡邏某地，偷盜者在該地?zé)o法實(shí)施偷盜，假定此時(shí)小偷的得益為0（沒(méi)有收益），此時(shí)警察的得益為3（保住3萬(wàn)元）。

這個(gè)博弈也是常和博弈，它沒(méi)有純策略納什均衡點(diǎn)，而有混合策略均衡點(diǎn)。這個(gè)混合策略均衡點(diǎn)下的策略選擇是每個(gè)參與人的最優(yōu)（混合）策略選擇。

小偷

警察 襲擊A地 襲擊B地

巡邏A地 3，0 2，1

巡邏B地 1，2 3，0

對(duì)于這個(gè)例子，警察的一個(gè)更好的策略是，警察用擲骰子的方法決定去A地還是B地。假定警察規(guī)定擲到1-4點(diǎn)去A地，擲到5、6兩點(diǎn)去B地，這樣警察有2/3的機(jī)會(huì)去A地進(jìn)行巡邏，1/3的機(jī)會(huì)去B地。

而小偷的最優(yōu)選擇是：以同樣擲骰子的辦法決定去A地還是去B地偷盜，如擲到1-4點(diǎn)去B地，擲到5、6兩點(diǎn)去A地，那么，小偷有1/3的機(jī)會(huì)去A地，2/3的機(jī)會(huì)去B地。

此時(shí)警察與小偷所采取的便是混合策略。

假如按這種策略，我們看一下雙方的收益。警察的期望得益是：7/3萬(wàn)大于2。警察按此辦法比只巡邏A地的收益更高。

一旦警察采取混合策略，小偷也采取混合策略，其最優(yōu)混合策略下的收益為2/3萬(wàn)元。小偷的收益比警察只巡邏A地的收益要低。

因?yàn)椋寒?dāng)警察去A地巡邏時(shí)，小偷有1/3的機(jī)會(huì)去A地，2/3的機(jī)會(huì)去B地，此時(shí)警察去A地的得益為： 萬(wàn)元；當(dāng)警察去B地時(shí)，同樣，小偷有1/3的機(jī)會(huì)去A地，2/3的機(jī)會(huì)去B地，此時(shí)警察A地的得益為： 萬(wàn)元。

警察總的得益為： 萬(wàn)元。

同理，我們可得小偷的總的得益為2/3萬(wàn)元。

這里我們“讓”警察和小偷擲骰子以確定去A地還是去B地，目的是要去A地和去B地之間確定一個(gè)概率分布，他們當(dāng)然可用其他方式來(lái)確定這個(gè)概率分布。

宰割博弈中警察與小偷所用的混合策略，如同小孩子之間玩“剪刀-石頭-布”的游戲時(shí)所用的策略。在“剪刀-石頭-布”這樣的游戲中，不存在純策略均衡，對(duì)每個(gè)小孩來(lái)說(shuō)，自己采取出“剪刀”、“布”還是“石頭”的策略應(yīng)當(dāng)是隨機(jī)的，不能讓對(duì)方知道自己的策略，哪怕是傾向性的策略。如果對(duì)方知道你出其中一個(gè)策略的可能性大，那么你在游戲中輸?shù)目赡苄跃痛?。因此，每個(gè)小孩的最優(yōu)混合策略是采取每個(gè)策略的可能性是1/3。在這樣的博弈中，每個(gè)小孩各取三個(gè)策略的1/3是納什均衡。

由此可見(jiàn)：純策略是參與人一次性選取的，并且堅(jiān)持他選取的策略；而混合策略是參與人在各種備選策略中采取隨機(jī)選取的。在博弈中，參與人可以改變他的策略，而使得他的策略選取滿(mǎn)足一定的概率分布。

若博弈是零和博弈，即若博弈參與人為兩人，一方所得是另外一方的所失，或者若博弈是常和博弈，即若博弈參與人為兩人，一方所得的增加等于另外一方的損失，此時(shí)，對(duì)于任何一個(gè)參與人而言，都不可能有純策略的占優(yōu)策略。博弈參與人采取混合策略是合適的，均衡為混合策略均衡。如在當(dāng)前的“反恐”博弈中，由于力量的有限，反恐方往往“更多地”將力量放在重點(diǎn)區(qū)域，如人口密集的大城市，“一定程度地”關(guān)注不太危險(xiǎn)的區(qū)域，如人口稀疏的農(nóng)村。這就是混合策略。而恐怖分子同樣在玩混合策略：對(duì)攻擊對(duì)象的選擇是隨機(jī)的，對(duì)攻擊方式的選擇也是隨機(jī)的。

在競(jìng)爭(zhēng)性的博弈中，該采取混合策略而不采取混合策略將會(huì)帶來(lái)失敗。田忌賽馬是人人熟悉的故事。齊王與田忌賽馬，但齊王的馬平均來(lái)說(shuō)要比田忌的馬要跑得快，但田忌采納了孫臏的策略，田忌用下等馬對(duì)齊王的上等馬，上等馬對(duì)齊王的中等馬，中等馬對(duì)齊王的下等馬。田忌以三比二獲勝，贏了齊王。賽馬是零和博弈，齊王的失敗在于他使用了純策略；若齊王使用混合策略，即每次比賽用馬采取隨機(jī)策略，不讓田忌預(yù)先知曉，那么田忌獲勝的機(jī)會(huì)必定大大小于齊王獲勝的機(jī)會(huì)，齊王不會(huì)發(fā)生必輸?shù)慕Y(jié)局。因此，齊王的錯(cuò)誤在于沒(méi)有使用混合策略。

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是，田忌賽馬是著名的中國(guó)古代博弈故事。但其田忌獲勝的博弈結(jié)果則不是博弈論所能夠給出的。博弈論假定了每個(gè)參與人都是絕頂聰明的（理性的），博弈論給出的是，田忌和齊王都應(yīng)采取混合策略，此時(shí)有一個(gè)混合策略均衡。田忌賽馬從反面印證了納什均衡的含義：若某個(gè)參與人主動(dòng)改變均衡策略，他的收益會(huì)降低。這里，主動(dòng)改變均衡策略而收益降低的參與人是齊王。