代數(shù)學(xué)教程. 第一卷：集合論

第一部分  樸素集合論
第一章  集合及其運算//3
§1  集合的基本概念  //3
1.1  集合及其表示  //3
1.2  集合的相等·子集  //6
1.3  數(shù)集  //8§2  集合的運算  //9
2.1  集合的冪集·集合的后續(xù)  //9
2.2  集合的并與交  //12
2.3  集合的差  //15
2.4  集合的對稱差  //19
2.5  有序?qū)?middot;集合的直乘積  //21
2.6  維恩圖·容斥原理與抽屜原理  //27
§3  集合族·集合序列  //31
3.1  集合族  //31
3.2  集合序列的極限  //34
第二章  關(guān)系·映射//41
§1  關(guān)系的基本概念  //41
1.1  關(guān)系及其相關(guān)概念  //41
1.2  等價關(guān)系  //44
1.3  數(shù)學(xué)的公理結(jié)構(gòu)·同構(gòu)  //46
§2  集合的劃分  //48
2.1  集合的劃分與覆蓋  //48
2.2  等價關(guān)系與劃分的聯(lián)系  //51
2.3  劃分的乘法與加法  //54
§3  映射  //56
3.1  映射的基本概念  //56
3.2  滿射·單射·一一映射·映射的復(fù)合  //61
3.3  映射的逆  //64
3.4  子集的正象和逆象  //68
3.5  映射的限制與延拓·映射的并與相容性  //73
3.6  映射族·映射族的并//75
3.7  元素族  //79
3.8  集合族的超積·選擇公理  //81
§4  集合的特征函數(shù)與模糊子集  //83
4.1  集合的特征函數(shù)  //83
4.2  模糊子集合//86
§5  有限集合的映射與組合論  //92
5.1  組合論的基本原理  //92
5.2  組合論的基本公式  //94
第三章  基數(shù)理論//97
§1  有限集  //97
1.1  歷史摘述  //97
1.2  集合的等價·有限集合的基本定理  //98
1.3  有限集合的元素的個數(shù)·有限集合的性質(zhì)  //101
§2  無限集  //103
2.1  無窮集的特征·戴德金意義下的有窮與無窮  //103
2.2  可數(shù)集  //105
2.3  可數(shù)集的例子  //111
2.4  不可數(shù)集合  //114§3  集合的比較  //118
3.1  基數(shù)的概念//118
3.2  自然數(shù)作為有限集合的基數(shù)  //121
3.3  具有連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的集合的例子  //123
3.4基數(shù)的比較//127
3.5  大于  的基數(shù)·康托定理  //133
3.6  集合論悖論·連續(xù)統(tǒng)假設(shè)  //136§4  基數(shù)的運算  //138
4.1  基數(shù)的和與積及其初等性質(zhì)  //138
4.2基數(shù)的冪  //144
4.3  基數(shù)運算的進一步性質(zhì)  //150
4.4  葛尼格定理//154
第四章  序型理論//158
§1  序型的基本概念  //158
1.1  有序集  //158
1.2  有序集的相似  //161
1.3  序型  //163
1.4  稠密的序型與連續(xù)的序型·有序集的分割  //165
1.5  有序n元組的推廣·任意個集合的直乘積  //168
§2  序型的運算  //171
2.1  序型的和  //171
2.2  序型的積  //174
2.3  勢§。與  的型  //179§3  良序集  //182
3.1  良序集  //182
3.2  選擇公理與良序定理  //186
3.3  部分序集·佐恩引理  //191
3.4  需用選擇公理的數(shù)學(xué)定理的例子  //194
§4  序數(shù)  //197
4.1  序數(shù)及其大小  //197
4.2  超限歸納法·超限遞歸定義  //201
4.3  序數(shù)的運算//204
4.4  乘法的推廣·康托積  //207
4.5  自然和與自然積  //211
4.6  普遍的積概念  //213§5  可數(shù)超限數(shù)  //217
5.1  可數(shù)超限數(shù)  //217
5.2  可數(shù)超限數(shù)的進一步性質(zhì)·斂尾性概念  //220§6  阿列夫·數(shù)類  //222
6.1  阿列夫  //222
6.2數(shù)類及其始數(shù)//225
6.3  規(guī)則的與不規(guī)則的序數(shù)·給定序型所斂尾的最小初始數(shù)  //232
第二部分  公理集合論
第五章  策梅羅與弗倫克爾的公理系統(tǒng)//239
§1  引論  //239
1.1  集論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)  //239
1.2  邏輯與記號  //241
1.3  抽象公理模式與羅素悖論  //242
1.4  其他悖論  //245§2  一般的展開//249
2.1  序言、公式和定義  //249
2.2  外延性公理和分出公理  //253
2.3  集合的交，并和差  //257
2.4  對偶公理和有序?qū)? //262
2.5  抽象定義  //264
2.6  聯(lián)集公理和集合的簇  //266
2.7  冪集公理  //272
2.8  集合的卡氏積  //274
2.9  正規(guī)性公理  //277
2.10  公理綜述  //279
§3  關(guān)系和函數(shù)  //279
3.1  對二元關(guān)系的運算  //279
3.2  次序關(guān)系//287
3.3  等價關(guān)系和分類  //294
3.4  函數(shù)  //298
參考文獻