從零開始讀懂微積分

目錄
第1章天賦還是勤奮
1.1沒什么特別的人類
1.2難以測量的直覺
第2章想象力是最大的武器
2.1哥貝克力石陣
2.2規(guī)天矩地
2.3數(shù)字崇拜
第3章數(shù)字背后的邏輯
3.1誰更有錢
3.2一一映射
3.3快速計算比賽場次
3.4漢字簡化
3.5基數(shù)與序數(shù)
第4章區(qū)分抽象與還原
4.1抽象的數(shù)學處理
4.2生動的數(shù)學還原
4.3抽象與還原之爭
第5章文明的進步
5.1古巴比倫數(shù)字
5.2古埃及數(shù)字
5.3古代中國的算籌
5.4印度人的貢獻
5.5一場生物學制造的意外
第6章背離經(jīng)驗的科學
6.1相對論的拼圖
6.2缺損棋盤問題
6.3失效的經(jīng)驗
第7章數(shù)學應該怎樣學（I）
7.1邏輯感
7.2一道解三角形題的本質
7.3計算三角函數(shù)值的標準做法
7.4“三段式”論證
7.5你知道有幾只病狗嗎
第8章數(shù)學應該怎樣學（II）
8.1結構感知力
8.2回歸求知的本心
第9章史上最大的“邏輯漏洞”
9.1真相是什么
9.2阿基米德的證明
9.3數(shù)學走上神壇
第10章無窮的困境
10.1芝諾悖論
10.2阿基里斯與烏龜
10.3飛矢不動
10.4理性與感觀
第11章第一次嘗試
11.1伽利略的悖論
11.2抽象與演繹的沖突
11.3伽利略的選擇
第12章無法回避的難題
12.1封閉的疆域
12.2幾何能做的也有限
12.3數(shù)學界的思想解放
第13章探尋之路
13.1實數(shù)的模型
13.2混亂的狀況
13.3柯西與極限
13.4柯西收斂準則
第14章實數(shù)軸的重生
14.1康托爾的實數(shù)模型
14.2 1.000等于0.999嗎
14.3堅實的基礎
第15章芝諾悖論的數(shù)學終結
15.1可數(shù)無窮集合
15.2不平凡的可數(shù)集
15.3實數(shù)集合不可數(shù)
15.4遲到的榮耀
第16章給長度一個交代
16.1長度的數(shù)學本質
16.2升級版長度
16.3勒貝格測度
第17章分析學的三條路徑和一種范式
17.1從有限到無窮
17.2從局部到整體
17.3以簡單代替復雜
第18章歸結原則和兩個重要極限
18.1第一個重要極限：
18.2從數(shù)列過渡到函數(shù)
18.3第二個重要極限：
18.4“收斂速度”可以求出來嗎
18.5怎樣跑贏通貨膨脹
18.6第二個重要極限的證明
第19章連續(xù)性的陷阱
19.1狄利克雷函數(shù)
19.2無窮振蕩曲線
19.3不可求長曲線
19.4魏爾斯特拉斯函數(shù)
第20章微分的前世今生
20.1切線與微分
20.2導數(shù)：差商的極限
20.3微分在今天的含義
20.4導數(shù)等于微商嗎
第21章自然的數(shù)學法則
21.1函數(shù)[ex]的特性
21.2指數(shù)函數(shù)與等角螺線
21.3自然界中的等角螺線
21.4等角螺線與地圖投影
第22章分割的藝術
22.1黎曼積分
22.2性質與實用的平衡
22.3黎曼積分的性質
22.4可積性判定準則
22.5勒貝格積分
第23章微分與積分的統(tǒng)一
23.1面積如何求導
23.2變限積分：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)
23.3牛頓-萊布尼茲公式
23.4增強版微積分基本定理
23.5微分中值定理與積分中值定理的統(tǒng)一
第24章多元函數(shù)的世界
24.1方向導數(shù)
24.2空間直線有斜率嗎
24.3偏導數(shù)——方向導數(shù)衍生品
24.4從切線到切平面
24.5梯度
24.6積分也有方向
24.7斯托克斯公式
第25章泰勒展開
25.1微分法
25.2密切法
25.3插值法
25.4冪級數(shù)的春天
第26章傅里葉展開
26.1最小二乘法
26.2正交投影法
26.3三角級數(shù)的魅力
第27章最小作用量原理
27.1光的折射定律
27.2笛卡兒的解釋
27.3費馬最小時間原理
第28章最優(yōu)逼近——泰勒展開的第四張面孔
28.1局部與整體的再一次擁抱
28.2最優(yōu)逼近多項式
28.3逆矩陣的秘密
28.4最優(yōu)逼近多項式的極限
第29章最佳近似——超定方程組的現(xiàn)實選擇
29.1純代數(shù)的方案
29.2利用費馬定理求極值點的方案
29.3造福人類的CT技術
第30章最小損失——人工智能的決策法門
30.1直線擬合的損失函數(shù)
30.2梯度下降
30.3梯度下降法的變體