常微分方程

第1章緒論1
1.1微分方程實例1
習題1.14
1.2基本概念5
習題1.27
1.3微分方程解的幾何解釋8
習題1.310
第2章一階微分方程的初等解法11
2.1變量分離方程11
2.1.1變量分離方程11
2.1.2可化為變量分離方程的微分方程13
2.1.3變量分離方程的應用實例16
習題2.117
2.2一階線性微分方程17
2.2.1一階線性微分方程17
2.2.2伯努利方程20
2.2.3里卡提（Riccati）方程21
習題2.222
2.3恰當微分方程與積分因子23
2.3.1恰當方程23
2.3.2積分因子26
2.3.3恰當微分方程的物理背景29
習題2.329
2.4一階隱式微分方程30
2.4.1可解出y的方程30
2.4.2可解出x的方程32
2.4.3不顯含y的方程34
2.4.4不顯含x的方程35
習題2.437
第3章一階微分方程解的存在定理38
3.1存在 性定理與逐步逼近法38
3.1.1存在 性定理38
3.1.2存在性定理45
習題3.146
3.2解的延展和解對初值的連續(xù)性與可微性47
3.2.1解的延展47
3.2.2解對初值的連續(xù)性和可微性49
習題3.249
3.3常微分方程的數(shù)值解法50
3.3.1基本概念50
3.3.2常用的單步法50
3.3.3龍格庫塔方法（RungeKutta）52
3.3.4線性多步法53
3.3.5數(shù)值解的相容性、收斂性與穩(wěn)定性54
3.3.6常微分方程組與高階方程的數(shù)值解法56
3.3.7Matlab中求解常微分方程的命令58
習題3.359
第4章高階微分方程60
4.1線性微分方程的基本理論60
4.1.1齊次線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)60
4.1.2非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法65
習題4.169
4.2常系數(shù)線性微分方程的解法69
4.2.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法70
4.2.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法71
習題4.277
4.3一般微分方程的解法78
4.3.1變量變換法78
4.3.2冪級數(shù)解法81
習題4.384
第5章線性微分方程組86
5.1線性微分方程組的一般理論86
5.1.1齊次線性微分方程組87
5.1.2非齊次線性微分方程組91
習題5.193
5.2常系數(shù)線性微分方程組的解法94
5.2.1矩陣指數(shù)函數(shù)95
5.2.2矩陣范數(shù)95
5.2.3eAx的適定性、連續(xù)可導性95
5.2.4齊次線性微分方程組的通解96
5.2.5非齊次線性微分方程組的通解及常數(shù)變易公式96
5.2.6eAx的計算97
習題5.2104
5.3消元法和拉普拉斯變換法105
5.3.1消元法105
5.3.2拉普拉斯變換法107
習題5.3112
5.4 積分法113
習題5.4119
第6章定性和穩(wěn)定性理論初步120
6.1穩(wěn)定性120
習題6.1124
6.2李雅普諾夫第二方法125
習題6.2127
6.3平面自治系統(tǒng)的基本概念127
6.3.1相平面、相軌線與相圖128
6.3.2平面自治系統(tǒng)的基本性質(zhì)130
6.3.3常點、奇點和閉軌130
習題6.3131
6.4平面自治系統(tǒng)的奇點理論131
6.4.1線性系統(tǒng)的奇點131
6.4.2非線性系統(tǒng)的奇點135
習題6.4136
部分習題參考答案137
附錄Maple在常微分方程中的應用152
參考文獻159