目錄
“大學數學科學叢書”序
前言
第1章 一元函數的導數 1
1.1 直接求導 1
1.1.1 極坐標和球坐標中質點的動能 1
1.1.2 平面旋轉坐標系中的慣性力 2
1.2 Taylor公式與近似計算 5
1.2.1 位于地球表面的物體的重力勢能 5
1.2.2 黑體輻射公式的低頻和高頻近似 6
1.2.3 狹義相對論的質能關系式 6
1.2.4 氫原子能級的精細結構 7
1.2.5 潮汐 9
1.3 單調性與*大*小值 13
1.3.1 拋體的*遠距離 13
1.3.2 Wien位移定律 15
1.3.3 光的折射與Fermat原理 15
1.3.4 蜂巢的邊界 17
1.3.5 實系數一元三次方程的實根個數 18
1.3.6 Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式 19
1.3.7 Lagrange點 22
1.4 凸性 27
1.4.1 Jensen 不等式 27
1.4.2 平均值不等式 28
第2章 一元函數的積分 32
2.1 直接積分 32
2.1.1 旋轉杯子中的水面 32
2.1.2 Buffon投針問題 33
2.2 微元法 34
2.2.1 繞在桿上的繩子 34
2.2.2 Poiseuille公式 35
2.2.3 火箭 36
2.3 平均 37
2.3.1 桿秤 37
2.3.2 水閘上壓力的力矩 38
2.3.3 引力 39
2.3.4 交流電的平均 39
第3章 常微分方程 42
3.1 一階常微分方程 42
3.1.1 有阻力時的拋體 42
3.1.2 單擺 43
3.1.3 懸鏈線 45
3.1.4 *速曲線 46
3.2 二階線性常微分方程 49
3.2.1 帶阻尼的受迫振動 49
3.2.2 電路中的初始條件 52
3.3 二階非線性常微分方程及方程組 53
3.3.1 以恒力拉起鏈條 53
3.3.2 二體問題 54
3.3.3 過山車的軌道 58
第4章 多元函數的微積分 63
4.1 多元函數的微分 63
4.1.1 三角形的Fermat點 63
4.1.2 *小二乘法 66
4.1.3 定壓熱容量與定容熱容量之差.68
4.1.4 平衡態(tài)熵極大的推論 70
4.2 重積分 73
4.2.1 均勻球體產生的引力 73
4.2.2 均勻圓盤產生的引力 74
4.3 曲線積分、曲面積分與向量分析 75
4.3.1 極坐標下的梯度和散度 77
4.3.2 Archimedes定律 79
4.3.3 Maxwell方程組 81
4.3.4 Maxwell方程組的微分形式表示 84
第5章 級數與Fourier變換 89
5.1 函數項級數 89
5.1.1 Kepler第三定律推導中的一個積分 89
5.1.2 Stefan-Boltzmann定律 90
5.2 冪級數 92
5.2.1 Fibonacci數列 92
5.2.2 Catalan數 94
5.2.3 Legendre方程的解的收斂域 97
5.2.4 指數函數和三角函數的定義 100
5.3 Fourier級數 103
5.3.1 Gibbs現象 103
5.3.2 正弦級數和余弦級數 105
5.3.3 調幅波的Fourier級數 107
5.3.4 調頻波的Fourier級數 109
5.4 Fourier變換 111
5.4.1 一個近似周期函數的Fourier變換 112
5.4.2 光柵的Fraunhofer衍射 113
5.4.3 一維熱傳導方程的求解 116
5.4.4 Heisenberg不確定性原理 117
5.4.5 圓孔的Fraunhofer衍射 119
5.5 離散Fourier變換 121
5.5.1 超長整數的乘法 122
5.5.2 一個近似周期函數的離散Fourier變換 123
第6章 線性代數 126
6.1 線性代數方程組 126
6.1.1 Thevenin定理 126
6.1.2 純電阻電路中增加電阻 128
6.2 矩陣及其特征值 133
6.2.1 振動系統(tǒng) 133
6.2.2 三階旋轉矩陣的特征值和特征向量 134
6.2.3 角速度和旋轉坐標系中的慣性力 135
第7章 變分法及其相關問題 138
7.1 變分法 138
7.1.1 球面上的測地線 140
7.1.2 *速曲線 141
7.1.3 地球表面兩點間的*速曲線 143
7.2 與擺線相關的一個積分方程 147
7.2.1 等時擺I 147
7.2.2 等時擺II 149
參考文獻 152
附錄 A復數的指數形式 153
附錄B 電容和電感 155
B.1 電容 155
B.2 電感 155
B.3 容抗和感抗 156
附錄C 二極管 160
索引 162
“大學數學科學叢書”已出版書目 165
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