廣義積分論

目錄
《模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)及其應(yīng)用叢書(shū)》序
前言
第1章 積分論大意 1
1.1 測(cè)度與可測(cè)函數(shù) 1
1.1.1 測(cè)度 1
1.1.2 可測(cè)函數(shù) 3
1.2 積分 4
1.2.1 定義、性質(zhì)與收斂定理 4
1.2.2 Fubini 定理 6
1.2.3 Radon-Nikodym 定理 6
參考文獻(xiàn) 6
第2章 模糊集、模糊測(cè)度與可測(cè)函數(shù) 7
2.1 模糊集基礎(chǔ) 7
2.2 模糊測(cè)度 9
2.2.1 定義與例子 9
2.2.2 模糊測(cè)度的結(jié)構(gòu)特征 11
2.2.3 模糊測(cè)度序列 14
2.3 可測(cè)函數(shù)列 17
2.4 進(jìn)展與注 19
參考文獻(xiàn) 20
第3章 模糊積分 21
3.1 Sugeno 模糊積分 21
3.1.1 定義 21
3.1.2 性質(zhì) 22
3.1.3 收斂定理 24
3.1.4 轉(zhuǎn)化定理， 由積分定義的集函數(shù) 26
3.1.5 上、下 Sugeno 積分 26
3.2 (N) 模糊積分與半模模糊積分 27
3.2.1 (N) 模糊積分 27
3.2.2 半模模糊積分 29
3.3 廣義半模模糊積分 31
3.3.1 定義與性質(zhì) 32
3.3.2 收斂定理 35
3.3.3 模糊測(cè)度序列在廣義半模模糊積分意義下的弱收斂 41
3.3.4 廣義半模模糊積分的水平收斂定理 44
3.3.5 廣義半模模糊積分的表示 46
3.3.6 由廣義半模模糊積分定義的模糊測(cè)度 51
3.4 進(jìn)展與注 52
參考文獻(xiàn) 54
第4章 Choquet 積分 57
4.1 非負(fù)函數(shù)的 Choquet 積分 57
4.1.1 定義和性質(zhì) 57
4.1.2 模糊測(cè)度的表示， 共單調(diào)可加性 59
4.1.3 廣義收斂定理及 Choquet 積分表示 64
4.1.4 Choquet 積分不等式 67
4.1.5 上、下 Choquet 積分 68
4.2 非對(duì)稱(chēng) Choquet 積分 70
4.2.1 定義與性質(zhì) 70
4.2.2 收斂定理 72
4.2.3 由 Choquet 積分定義的集函數(shù) 73
4.3 Fubini 定理 75
4.3.1 基于代數(shù)的 Fubini 定理 75
4.3.2 基于 σ-代數(shù)的 Fubini 定理 76
4.3.3 一般情形的乘積容度與 Fubini 定理 78
4.4 Choquet 積分——其他 80
4.4.1 對(duì)稱(chēng) Choquet 積分 80
4.4.2 關(guān)于擬 Lebesgue 測(cè)度的 Choquet 積分 82
4.4.3 新 Choquet-like 積分 84
4.4.4 Choquet-Stieltjes 積分 86
4.4.5 非單調(diào)模糊測(cè)度空間及收斂 86
4.5 進(jìn)展與注 89
參考文獻(xiàn) 89
第5章 擬積分與廣義 Choquet 積分 93
5.1 Sugeno 與 Murofushi 的擬可加測(cè)度與積分 93
5.1.1 擬可加測(cè)度與積分的基本概念 93
5.1.2 擬可加積分的收斂定理 96
5.1.3 g-積分 101
5.1.4 Choquet-like 積分 106
5.2 σ-可加測(cè)度與擬積分 107
5.2.1 半環(huán)的基本概念 107
5.2.2 擬積分的定義 110
5.2.3 Fubini 定理 112
5.2.4 擬積分轉(zhuǎn)化定理 116
5.2.5 擬積分的廣義 Minkowski 不等式 117
5.2.6 擬積分的 Jensen 不等式 121
5.3 非負(fù)可測(cè)函數(shù)的擬積分的再定義 128
5.3.1 定義 128
5.3.2 性質(zhì) 130
5.3.3 收斂定理 131
5.4 廣義 Choquet 積分 134
5.4.1 半環(huán)值模糊測(cè)度 134
5.4.2 廣義 Choquet 積分——一般情形 135
5.4.3 廣義 Choquet 積分——情形 I—情形 III 136
5.4.4 廣義 Choquet 積分的收斂定理 143
5.4.5 廣義 Choquet 積分不等式 146
5.5 進(jìn)展與注 148
參考文獻(xiàn) 149
第6章 格值廣義模糊積分 152
6.1 格 L 上的廣義三角模與 TS-L 廣義模糊積分 152
6.1.1 格 L 上的廣義三角模 152
6.1.2 TS-L 廣義模糊積分 153
6.2 _S-L 廣義模糊積分 159
6.2.1 常值函數(shù) TS-L 廣義模糊積分的討論 159
6.2.2 ∨S-L 廣義模糊積分 161
6.3 Rm+-值廣義模糊積分 165
6.3.1 基本概念與定義 165
6.3.2 m 維廣義模糊積分定理及收斂定理 166
6.4 進(jìn)展與注 170
參考文獻(xiàn) 171
第7章 集值函數(shù)與模糊集值函數(shù)的積分 172
7.1 預(yù)備知識(shí) 172
7.1.1 Bochner 積分 172
7.1.2 集值函數(shù) 174
7.1.3 可積選擇空間 177
7.2 集值函數(shù)的 Aumann 積分 180
7.2.1 定義 180
7.2.2 性質(zhì) 181
7.3 P0(Rn) 值函數(shù)的 Aumann 積分 184
7.3.1 基本性質(zhì)， 收斂定理 184
7.3.2 Fubini 定理 185
7.3.3 Debreu 積分 186
7.4 集值測(cè)度 187
7.4.1 集值測(cè)度的定義與性質(zhì) 187
7.4.2 集值測(cè)度的選擇 188
7.4.3 Radon-Nikodym 定理 189
7.5 模糊集值函數(shù)的積分 191
7.5.1 n 維模糊數(shù) 191
7.5.2 一維模糊數(shù) 193
7.5.3 模糊集值函數(shù) 194
7.5.4 模糊集值函數(shù)的積分 195
7.5.5 模糊值積分的 Fubini 定理 199
7.5.6 模糊集值測(cè)度 200
7.6 Pk(R)-值與 Pk(R)-值積分的 Jensen 不等式 201
7.6.1 凸函數(shù)與經(jīng)典 Jensen 不等式 201
7.6.2 集值函數(shù)與模糊集值函數(shù)積分的幾個(gè)性質(zhì) 201
7.6.3 集值 Jensen 不等式 203
7.6.4 模糊集值 Jensen 不等式 207
7.7 模糊數(shù)測(cè)度與積分 214
7.7.1 模糊數(shù)測(cè)度 214
7.7.2 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)測(cè)度的積分 215
7.7.3 Fubini 定理 219
7.7.4 Radon-Nikodym 定理 220
7.8 進(jìn)展與注 221
參考文獻(xiàn) 222
第8章 集值函數(shù)與模糊集值函數(shù)的模糊積分 226
8.1 預(yù)備知識(shí) 226
8.2 集值函數(shù)的模糊積分 227
8.2.1 定義與性質(zhì) 227
8.2.2 收斂定理 231
8.3 模糊集值函數(shù)的模糊積分 233
8.3.1 定義與性質(zhì) 233
8.3.2 收斂定理 235
8.4 集值模糊測(cè)度與擬可加集值測(cè)度 237
8.4.1 定義與例子 237
8.4.2 集值模糊測(cè)度的一種構(gòu)造方法 237
8.4.3 擬可加集值測(cè)度與 Radon-Nikodym 定理 238
8.5 集值函數(shù)的集值 Choquet 積分 239
8.5.1 定義與性質(zhì) 239
8.5.2 收斂定理 242
8.6 模糊集值函數(shù)的 Choquet 積分 243
8.7 集值函數(shù)的實(shí)值 Choquet 積分 244
8.7.1 定義與性質(zhì) 244
8.7.2 收斂定理 246
8.8 Choquet 積分的 Jensen 不等式 247
8.8.1 實(shí)值 Jensen 不等式 247
8.8.2 集值函數(shù)實(shí)值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 251
8.8.3 集值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 253
8.8.4 模糊集值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 255
8.9 進(jìn)展與注 256
參考文獻(xiàn) 257
第9章 模糊數(shù)模糊測(cè)度與模糊積分 259
9.1 預(yù)備知識(shí) 259
9.2 區(qū)間數(shù)模糊測(cè)度與模糊數(shù)模糊測(cè)度 262
9.3 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)模糊測(cè)度的模糊積分 264
9.3.1 區(qū)間值函數(shù)關(guān)于區(qū)間數(shù)模糊測(cè)度的模糊積分 264
9.3.2 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)模糊測(cè)度的模糊積分 267
9.4 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)模糊測(cè)度的廣義模糊積分 272
9.4.1 區(qū)間值函數(shù)關(guān)于區(qū)間數(shù)模糊測(cè)度的廣義模糊積分 272
9.4.2 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)模糊測(cè)度的廣義模糊積分 273
9.5 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)模糊測(cè)度的廣義 Choquet 積分 277
9.5.1 區(qū)間值函數(shù)關(guān)于區(qū)間值模糊測(cè)度的廣義 Choquet 積分——一般情形 277
9.5.2 區(qū)間值函數(shù)關(guān)于區(qū)間值模糊測(cè)度的廣義 Choquet 積分——半環(huán)情形 I—情形 III 278
9.5.3 模糊值函數(shù)關(guān)于模糊數(shù)模糊測(cè)度的廣義 Choquet 積分——半環(huán)情形 I—情形 III 280
9.6 進(jìn)展與注 282
參考文獻(xiàn) 282
第10章 廣義模糊數(shù) 284
10.1 定義與基本定理 284
10.1.1 CH 廣義模糊數(shù) 284
10.1.2 廣義模糊數(shù)的再定義 285
10.2 廣義模糊數(shù)空間: 序、運(yùn)算、距離 290
10.2.1 h-廣義模糊數(shù) 290
10.2.2 廣義模糊數(shù) 292
10.3 廣義模糊數(shù)序列 299
10.4 進(jìn)展與注 303
參考文獻(xiàn) 304
《模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)及其應(yīng)用叢書(shū)》已出版書(shū)目 309