基礎復分析

目錄
前言
第 1章復數(shù)1
1.1復數(shù)代數(shù)1
1.1.1算術運算 1
1.1.2平方根1
1.1.3合理性2
1.1.4共軛和**值3
1.1.5不等式4
1.2復數(shù)的幾何表示 5
1.2.1加法與乘法的幾何表示 6
1.2.2高次單位根7
1.2.3解析幾何 8
1.2.4球面表示10
1.2.5一般位置的球極投影12
習題 113
第 2章點集拓撲基礎15
2.1集合與元素15
2.2度量空間 16
2.3拓撲空間 17
2.4連通性18
2.5緊致性20
2.6連續(xù)函數(shù) 22
2.7一致收斂性23
習題 224
第 3章復函數(shù)26
3.1解析函數(shù) 26
3.1.1解析函數(shù)的定義26
3.1.2導數(shù)的幾何意義27
3.1.3調和函數(shù)27
3.1.4形式偏導數(shù) 28
3.1.5多項式29
3.1.6有理函數(shù)31
3.2冪級數(shù)的基礎概念 34
3.2.1冪級數(shù)34
3.2.2 Abel極限定理 38
3.3指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù) 39
3.3.1指數(shù)函數(shù)39
3.3.2三角函數(shù)40
3.3.3周期性40
3.3.4對數(shù)函數(shù)42
習題 343
第 4章初等共形映射46
4.1分式線性變換 46
4.1.1保圓性46
4.1.2交比 47
4.1.3對稱性48
4.1.4分式線性變換的不動點與分類.50
4.1.5分式線性變換的其他表示 53
4.2二次多項式與有理函數(shù)55
4.3三次多項式58
4.4指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù) 59
4.5初等共形映射 61
習題 462
第 5章復積分63
5.1 Cauchy定理.63
5.1.1線積分63
5.1.2全微分65
5.1.3矩形上的 Cauchy定理67
5.1.4圓盤內的 Cauchy定理69
5.2 Cauchy積分公式71
5.2.1環(huán)繞數(shù)71
5.2.2積分公式72
5.2.3高階導數(shù)73
5.3解析函數(shù)的局部性質 75
5.3.1可去奇點與 Taylor定理75
5.3.2零點和極點 77
5.3.3局部映射78
5.3.4最大模原理 81
5.4 Cauchy定理的一般形式 82
5.4.1鏈和閉鏈82
5.4.2單連通性83
5.4.3 Cauchy定理的一般形式的證明84
5.4.4局部恰當微分88
5.4.5多連通性90
5.5留數(shù)計算 91
5.5.1留數(shù)定理91
5.5.2輻角原理92
5.5.3定積分計算 93
5.6調和函數(shù) 99
5.6.1定義和基本性質99
5.6.2均值性質100
5.6.3 Poisson公式 101
5.6.4 Schwarz定理 103
5.6.5反射原理104
習題 5 105
第 6章級數(shù)與乘積展開109
6.1冪級數(shù)展開式 109
6.1.1 Weierstrass定理 109
6.1.2 Taylor級數(shù)110
6.1.3 Laurent級數(shù) 112
6.2部分分式與因子分解113
6.2.1部分分式113
6.2.2典范乘積116
6.3 函數(shù)119
6.3.1函數(shù)的定義 119
6.3.2 Legendre加倍公式120
6.3.3 Stirling公式 121
6.3.4 函數(shù)的積分表示124
6.4 Riemann ζ函數(shù)125
6.4.1乘積展開126
6.4.2 ζ(s)擴張到整個平面 126
6.4.3函數(shù)方程與 ζ函數(shù)的零點128
6.5橢圓函數(shù)130
6.5.1周期函數(shù)130
6.5.2模群 130
6.5.3橢圓函數(shù)的一般性質 131
6.5.4 Weierstrass P函數(shù) 132
6.5.5函數(shù) ζ(z)與 σ(z) 133
6.5.6微分方程135
6.5.7橢圓模函數(shù)136
6.6正規(guī)族139
6.6.1 Arzela-Ascoli定理139
6.6.2解析函數(shù)族141
6.6.3亞純函數(shù)族142
習題 6 143
第 7章共形映射與 Dirichlet問題146
7.1單連通區(qū)域上的共形映射146
7.1.1 Riemann映射定理146
7.1.2邊界對應147
7.2多邊形上的共形映射148
7.2.1 Schwarz-Christoffel公式148
7.2.2三角形和矩形上的共形映射 150
7.3 Dirichlet問題 151
7.3.1具有均值性質的函數(shù) 151
7.3.2 Harnack原理151
7.3.3次調和函數(shù) 152
7.3.4 Dirichlet問題的解 154
7.4多連通區(qū)域的典范映射 156
7.4.1調和測度156
7.4.2 Green函數(shù)158
7.4.3平行割線區(qū)域 160
習題 7 160
索引162