微分方程和反問題模型與計算

目錄
序
Preface
前言
第1章 數(shù)學模型簡介與舉例 1
1.1 建立數(shù)學模型 1
1.1.1 數(shù)學模型 1
1.1.2 數(shù)學建模 2
1.2 數(shù)學科學與其他學科的融合 2
1.2.1 數(shù)學與交叉學科 2
1.2.2 計算科學與工程學科簡介 3
1.3 數(shù)學建模的步驟和策略 4
1.3.1 數(shù)學建模的步驟 4
1.3.2 數(shù)學建模的策略 5
1.4 建模案例 7
1.4.1 微積分模型 7
1.4.2 微分方程模型 8
1.4.3 反問題模型 10
1.5 數(shù)學建模能力培養(yǎng) 15
1.6 評注與進一步閱讀 16
1.7 訓練題 17
第2章 常微分方程模型及數(shù)值求解 19
2.1 常微分方程模型舉例 19
2.1.1 模型1：火焰燃燒模型 19
2.1.2 模型2：鐘擺模型 20
2.1.3 模型3：大氣運動 21
2.1.4 模型4：單體運動系統(tǒng) 22
2.2 常微分方程數(shù)值方法概述 23
2.2.1 離散化方法 24
2.2.2 顯式歐拉方法 24
2.2.3 隱式歐拉方法 25
2.2.4 梯形方法 27
2.2.5 改進歐拉方法 28
2.2.6 Runge-Kutta方法 29
2.3 常微分方程模型求解 31
2.3.1 鐘擺問題的求解 31
2.3.2 衰減鐘擺問題及其求解 33
2.3.3 受力衰減鐘擺問題及其求解 33
2.3.4 雙鐘擺問題及其求解 34
2.4 評注與進一步閱讀 35
2.5 新型時滯動態(tài)系統(tǒng)——COVID-19疫情預測 37
2.6 訓練題 40
第3章 偏微分方程模型及數(shù)值求解 42
3.1 偏微分方程模型舉例 42
3.1.1 模型1：冷卻散熱片的穩(wěn)態(tài)熱分布模型 42
3.1.2 模型2：熱量擴散模型 44
3.1.3 模型3：高頻傳輸模型 45
3.2 橢圓型方程的數(shù)值方法 47
3.2.1 五點差分格式 48
3.2.2 九點差分格式 49
3.3 拋物型方程的數(shù)值方法 51
3.3.1 古典顯格式 51
3.3.2 古典隱格式 53
3.3.3 Crank-Nicholson格式 54
3.4 雙曲型方程的數(shù)值方法 55
3.4.1 顯格式 55
3.4.2 隱格式 56
3.5 偏微分方程模型求解 57
3.5.1 橢圓型方程模型1——電場的分布模型 57
3.5.2 橢圓型方程模型2——冷卻散熱片的設計 59
3.5.3 拋物型方程模型1——水污染問題 60
3.5.4 拋物型方程模型2——草原犬生長率模型 61
3.5.5 雙曲型方程模型——孤子 62
3.6 評注與進一步閱讀 63
3.7 訓練題 64
第4章 積分方程模型與計算 66
4.1 積分方程模型舉例 66
4.2 積分方程的概念與分類 70
4.2.1 概念 70
4.2.2 方程分類 71
4.2.3 積分方程的不適定性例析 73
4.3 積分方程模型的計算 75
4.3.1 迭代方法 75
4.3.2 離散方法 78
4.3.3 積分變換方法 82
4.4 評注與進一步閱讀 85
4.5 訓練題 86
第5章 反問題模型與方法 88
5.1 反問題模型及其特征 88
5.1.1 反問題模型舉例 88
5.1.2 反問題的特征 91
5.1.3 反問題的分類 93
5.1.4 反問題的適定性分析與求解方法 94
5.2 反問題的正則化方法 94
5.2.1 一般正則化理論 94
5.2.2 Tikhonov正則化方法 97
5.3 三類偏微分方程反問題與求解方法舉例 98
5.3.1 對流擴散方程反問題 99
5.3.2 波動方程反問題 101
5.3.3 Laplace方程反問題 103
5.4 評注與進一步閱讀 105
5.5 訓練題 106
第6章 線性代數(shù)方程組模型及數(shù)值求解 107
6.1 線性方程組模型 107
6.2 高斯消去法 111
6.3 三角分解法 115
6.3.1 三角分解的緊湊格式 115
6.3.2 Cholesky分解 118
6.4 迭代法 119
6.4.1 Jacobi迭代法 120
6.4.2 Gauss-Seidel迭代法 121
6.4.3 超松弛迭代法 122
6.5 超定方程組的*小二乘解 122
6.5.1 矩陣的條件數(shù) 122
6.5.2 奇異值分解 123
6.5.3 超定方程的*小二乘解 124
6.5.4 病態(tài)方程組的正則化方法 127
6.6 評注與進一步閱讀 131
6.7 訓練題 132
第7章 *優(yōu)化模型及數(shù)值求解 133
7.1 *優(yōu)化模型 133
7.2 無約束優(yōu)化問題的直接搜索算法 135
7.2.1 黃金分割法 135
7.2.2 模式搜索法 137
7.3 共軛梯度法 138
7.4 隨機算法 139
7.4.1 粒子群方法 139
7.4.2 模擬退火算法 140
7.5 評注與進一步閱讀 141
7.6 訓練題 142
7.7 優(yōu)化算法的應用：K-Means聚類 142
第8章 數(shù)據(jù)驅(qū)動建模 147
8.1 數(shù)據(jù)建模之函數(shù)逼近、回歸方法 147
8.1.1 函數(shù)逼近 147
8.1.2 回歸分析 150
8.2 數(shù)據(jù)分類方法 152
8.2.1 二分類方法 152
8.2.2 決策樹方法 154
8.3 支持向量機方法 156
8.3.1 Rosenblatt感知器 156
8.3.2 支持向量機的思想與方法 160
8.3.3 解線性算子方程的支持向量機方法 163
8.4 數(shù)據(jù)聚類算法 166
8.5 數(shù)據(jù)分類與聚類算例 170
8.5.1 信用數(shù)據(jù)分類 170
8.5.2 物流數(shù)據(jù)聚類 171
8.6 隨機反問題 173
8.6.1 模型舉例 173
8.6.2 算子方程描述 175
8.6.3 正則化方法 177
8.7 評注與進一步閱讀 178
8.8 訓練題 181
第9章 圖像處理與壓縮感知建模與計算 182
9.1 圖像去噪 182
9.1.1 準備知識——圖像的載入和存儲 182
9.1.2 基于偏微分方程的圖像去噪 185
9.2 圖像識別 188
9.2.1 *近鄰法 188
9.2.2 小波分解 189
9.2.3 圖像奇異值分解 192
9.2.4 線性判別分析 194
9.3 壓縮感知 197
9.3.1 什么是壓縮感知 197
9.3.2 壓縮感知的反問題模型 198
9.3.3 壓縮感知的圖像重建算法 199
9.3.4 壓縮感知圖像和信號重建舉例 201
9.4 評注與進一步閱讀 205
附錄 各章MATLAB程序代碼 206
J.1 第1章程序代碼 206
J.2 第2章程序代碼 206
J.3 第3章程序代碼 209
J.4 第4章程序代碼 214
J.5 第5章程序代碼 218
J.6 第6章程序代碼 226
J.7 第7章程序代碼 227
J.8 第8章程序代碼 230
J.9 第9章程序代碼 233
參考文獻 235