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內(nèi)容簡介

　　泛函分析是綜合運用函數(shù)論、幾何學、現(xiàn)代數(shù)學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函、算子和極限的理論，可視為無限維向量空間的解析幾何與數(shù)學分析，廣泛應用于數(shù)學物理方程、概率論、計算數(shù)學等分支學科中，也是研究具有無限個自由度的物理系統(tǒng)的數(shù)學工具. 本書介紹泛函分析的基礎(chǔ)知識，具體內(nèi)容包括度量空間與賦范空間、有界線性算子、Hilbert空間、有界線性算子的譜、拓撲線性空間和廣義函數(shù). 全書力求通俗易懂，讓讀者在短時間內(nèi)初步了解和掌握泛函分析的基本理論與思想.本書適合高等學校數(shù)學系高年級本科生和研究生使用，也可供工程技術(shù)人員和數(shù)學工作者參考.

作者簡介

　　張晶，副教授，碩士生導師，哈爾濱師范大學數(shù)學與應用數(shù)學學士，哈爾濱師范大學基礎(chǔ)數(shù)學碩士，哈爾濱工業(yè)大學基礎(chǔ)數(shù)學博士，長期從事數(shù)學的教學與研究工作。

圖書目錄

目錄
第1章度量空間與賦范空間\t1
1．1 線性空間\t1
1．2 度量空間的基本概念\t4
1．2．1 度量空間的定義和例子\t4
1．2．2 序列的極限\t6
1．2．3 度量空間中的點集\t8
1．3 賦范空間的基本概念\t10
1．3．1 賦范空間的定義\t10
1．3．2 內(nèi)積空間的定義\t12
1．4 賦范空間的例子\t16
1．5 完備性\t24
1．5．1 空間的完備性\t24
1．5．2 完備空間的性質(zhì)\t26
1．5．3 壓縮映射原理\t29
1．5．4 空間的完備化\t33
1．6 緊性與連續(xù)映射、范數(shù)等價性\t34
1．6．1 映射的定義及其性質(zhì)\t34
1．6．2 緊集與列緊集\t37
1．6．3 有限維賦范空間上的范數(shù)等價性\t41
1．7 可分性\t45
習題1\t47
第2章有界線性算子\t51
2．1 有界線性算子的基本概念\t51
2．1．1 有界線性算子的定義及舉例\t51
2．1．2 算子范數(shù)\t56
2．1．3 有界線性算子空間\t58
2．2 Hahn-Banach定理\t59
2．2．1 Hahn-Banach定理的內(nèi)容\t59
2．2．2 Hahn-Banach定理的應用\t63
2．3 凸集的分離定理\t64
2．3．1 凸集與超平面\t65
2．3．2 越平面分離與超平面嚴格分離\t67
2．3．3 最佳逼近元的存在性和唯一性\t69
2．4 巴拿赫逆算子定理、閉圖像定理、共鳴定理\t72
2．4．1 巴拿赫逆算子定理\t72
2．4．2 閉圖像定理\t76
2．4．3 共鳴定理\t78
2．5 共軛空間的表示定理\t82
2．6 弱收斂與弱*收斂\t89
2．6．1 二次共軛空間\t89
2．6．2 弱收斂與弱*收斂基礎(chǔ)\t96
2．6．3 某些空間上弱收斂的等價特征\t98
2．7 共軛算子與緊算子\t100
2．7．1 共軛空間\t100
2．7．2 緊算子\t102
習題2\t106
第3章 Hilbert空間\t111
3．1 內(nèi)積空間\t111
3．1．1 內(nèi)積空間的基本概念\t111
3．1．2 正交性\t118
3．2 正交投影與正交系\t121
3．2．1 正交投影\t121
3．2．2 規(guī)范正交基\t128
3．2．3 正交系的完全性\t132
3．2．4 Gram-Schmidt正交化方法\t134
3．3 Riesz表示定理、伴隨算子\t136
3．3．1 Riesz表示定理\t136
3．3．2 伴隨算子\t139
3．3．3 自伴算子\t143
3．3．4 可分Hilbert空間上有界線性算子的矩陣表達式\t148
習題3\t149
第4章有界線性算子的譜\t152
4．1 有界線性算子的正則性與譜\t152
4．1．1 可逆算子\t152
4．1．2 正則算子與算子譜\t153
4．1．3 例子\t162
4．2 緊算子的譜論\t164
4．3 自伴算子的譜論\t171
4．3．1 自伴算子的譜\t171
4．3．2 緊算子的譜分解\t174
4．3．3 正算子的平方根\t178
4．4 自伴算子的譜系與譜分解\t180
4．4．1 譜系與譜積分\t180
4．4．2 自伴算子的譜分解\t187
4．5 全連續(xù)算子的譜論\t193
4．5．1 全連續(xù)算子的定義和基本性質(zhì)\t193
4．5．2 全連續(xù)算子的譜集\t196
習題4\t201
第5章拓撲線性空間\t204
5．1 拓撲線性空間的基本概念\t204
5．1．1 拓撲空間的基本概念\t204
5．1．2 拓撲線性空間的定義\t205
5．1．3 分離定理\t207
5．1．4 平衡集、吸收集、有界集\t209
5．2 局部凸空間、可度量化和可賦范\t211
5．2．1 局部凸空間\t211
5．2．2 可度量化和可賦范\t215
5．3 有界線性算子\t218
5．3．1 有界線性算子與泛函\t218
5．3．2 泛函延拓定理與凸集分離定理\t220
5．3．3 弱拓撲與弱*拓撲\t221
習題5\t223
第6章廣義函數(shù)\t226
6．1 基本函數(shù)和廣義函數(shù)\t226
6．1．1 基本函數(shù)空間K\t227
6．1．2 廣義函數(shù)空間\t230
6．2 廣義函數(shù)的基本性質(zhì)和運算\t231
6．2．1 廣義函數(shù)的基本性質(zhì)\t231
6．2．2 廣義函數(shù)的運算\t234
6．3 廣義函數(shù)的Fourier變換\t237
6．3．1 基本函數(shù)的Fourier變換\t237
6．3．2 FK空間上的連續(xù)線性泛函\t239
6．3．3 廣義函數(shù)的Fourier變換基礎(chǔ)\t239
6．3．4 廣義函數(shù)的卷積\t240
6．3．5 常系數(shù)偏微分方程的基本解\t242
6．3．6 基本函數(shù)空間S\t246
習題6\t249
附錄A 等價關(guān)系半序集與Zorn引理\t250
參考文獻\t252