數(shù)學(xué)物理

第1章復(fù)變函數(shù)

1.1復(fù)數(shù)及幾何表示

1. 復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)域

2. 幾何表示

3. 球極投影

4. 代數(shù)基本定理

1.2函數(shù)定義

1. 映射與區(qū)域


2. 初等復(fù)變函數(shù)

1.3復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)

1. 極限與導(dǎo)數(shù)

2. 柯西黎曼條件

3. 求導(dǎo)法則

1.4解析函數(shù)

1. 解析函數(shù)定義

2. 基本性質(zhì)

1.5多值函數(shù)

1. 支點(diǎn)和割線

2. 黎曼面

3. 復(fù)射影曲線

1.6復(fù)勢(shì)

1. 平面靜電場(chǎng)

2. 平面速度場(chǎng)

3. 平面熱流場(chǎng)

第2章路徑積分

2.1復(fù)變函數(shù)積分

1. 積分定義

2. 基本性質(zhì)

3. 計(jì)算路徑積分

2.2柯西定理

1. 單連通域

2. 多連通域

3. 原函數(shù)

2.3柯西積分公式

1. 單連通域

2. 多連通域

3. 導(dǎo)數(shù)的積分表示

4. 模定理

2.4多值函數(shù)積分

2.5橢圓函數(shù)

1. 橢圓積分

2. 積分取逆

3. 雅可比橢圓函數(shù)


數(shù)學(xué)物理

目錄



第3章級(jí)數(shù)展開(kāi)

3.1復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1. 級(jí)數(shù)收斂性

2. 冪級(jí)數(shù)

3.2泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

1. 泰勒定理

2. 解析函數(shù)零點(diǎn)

3.3洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)

1. 雙邊冪級(jí)數(shù)

2. 洛朗定理

3.4奇點(diǎn)分類

1. 奇點(diǎn)

2. 孤立奇點(diǎn)分類

3. 支點(diǎn)分類

4. 解析函數(shù)分類

3.5奇性平面場(chǎng)

1. 源點(diǎn)與渦點(diǎn)

2. 復(fù)勢(shì)

第4章留數(shù)積分

4.1留數(shù)定理

1. 留數(shù)

2. 留數(shù)計(jì)算

3. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)

4.2實(shí)函數(shù)積分

1. 三種基本積分類型

2. 實(shí)軸上有單極點(diǎn)

4.3特殊積分

1. 多值函數(shù)積分

2. 特殊回路積分

3. 半無(wú)窮積分

4. “狗骨頭”積分

4.4級(jí)數(shù)求和

第5章解析函數(shù)

5.1解析延拓

5.2解析延拓函數(shù)

1. Γ函數(shù)

2. B函數(shù)

3. ψ函數(shù)

4. 黎曼ζ函數(shù)

5.3對(duì)數(shù)積分

1. 零點(diǎn)與極點(diǎn)

2. 輻角原理

3. 儒歇定理

5.4亞純函數(shù)分解

1. 部分分式展開(kāi)

2. 米塔列夫勒定理

5.5整函數(shù)乘積展開(kāi)

1. 整函數(shù)因式分解

2. 無(wú)窮乘積收斂性

3. 魏爾斯特拉斯乘積定理

第6章共形映射

6.1保角變換

1. 調(diào)和方程不變性

2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3. 共形映射

6.2初等函數(shù)變換

1. 冪函數(shù)變換

2. 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)變換

3. 分式線性變換

6.3茹科夫斯基變換

1. 基本性質(zhì)

2. 機(jī)翼模型

6.4多角形變換

6.5共形自映射

1. 區(qū)域自映射

2. 雙曲幾何

3. 茹利亞集

4. 曼德布羅集

第7章傅里葉分析

7.1傅里葉級(jí)數(shù)

1. 正交三角函數(shù)集

2. 狄里希利定理

3. 指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)

4. 三維傅里葉級(jí)數(shù)

7.2傅里葉變換

1. 傅里葉積分

2. 基本性質(zhì)

3. 三維傅里葉變換

7.3卷積定理

1. 卷積函數(shù)

2. 相關(guān)函數(shù)

7.4泊松求和公式

第8章函數(shù)變換

8.1拉普拉斯變換

1. 絕對(duì)可積問(wèn)題

2. 基本性質(zhì)

8.2拉普拉斯逆變換

1. 分解有理式法

2. 卷積定理法

3. 黎曼梅林反演法

8.3應(yīng)用舉例

1. 解微分方程

2. 解積分方程

3. 實(shí)函數(shù)積分

4. 計(jì)算級(jí)數(shù)和

8.4z變換

1. z變換定義

2. 基本性質(zhì)

3. 反演變換

4. 應(yīng)用舉例

5. 與拉普拉斯變換的關(guān)系

第9章微分方程通解

9.1常系數(shù)常微分方程

1. 齊次方程

2. 非齊次方程

3. 歐拉型方程

9.2變系數(shù)常微分方程

1. 常點(diǎn)

2. 正規(guī)奇點(diǎn)

3. 方程第二個(gè)解

4. 非齊次方程特解

9.3常系數(shù)偏微分方程

1. 齊次偏微分方程

2. 非齊次偏微分方程

9.4非線性方程

1. 波的色散

2. 孤波解

3. 怪波解

4. 橢圓方程解

5. 圓周擺

第10章方程與定解

10.1數(shù)學(xué)物理方程

1. 弦的橫向振動(dòng)

2. 桿的縱向振動(dòng)

3. 擴(kuò)散方程

4. 熱傳導(dǎo)方程

5. 聲波方程

6. 其他物理方程

10.2定解問(wèn)題

1. 定解條件

2. 銜接條件

10.3達(dá)朗貝爾公式

1. 無(wú)限長(zhǎng)弦的波動(dòng)方程

2. 端點(diǎn)反射

10.4偏微分方程分類

1. 特征方程

2. 偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)型

10.5正交曲線坐標(biāo)系

1. 坐標(biāo)變換

2. 三維拉普拉斯算符

3. 高維拉普拉斯算符

第11章分離變量法

11.1齊次邊界問(wèn)題

1. 齊次微分方程

2. 非齊次微分方程

3. 矩形域問(wèn)題

11.2非齊次邊界問(wèn)題

11.3周期邊界問(wèn)題

1. 齊次方程(拉普拉斯方程)

2. 非齊次方程(泊松方程)

11.4銜接問(wèn)題

第12章積分變換法

12.1廣義函數(shù)

1. δ函數(shù)

2. 基本性質(zhì)

3. 階躍函數(shù)

12.2傅里葉變換法

1. 無(wú)限空間問(wèn)題

2. 半無(wú)限空間問(wèn)題

12.3拉普拉斯變換法

第13章球諧函數(shù)

13.1勒讓德方程

1. 球坐標(biāo)系

2. 本征值問(wèn)題

3. 基本性質(zhì)

4. 廣義傅里葉級(jí)數(shù)

5. 母函數(shù)

6. 遞推關(guān)系

13.2連帶勒讓德方程

1. 連帶勒讓德函數(shù)

2. 基本性質(zhì)

3. 廣義傅里葉級(jí)數(shù)

13.3一般球面函數(shù)

1. 球面函數(shù)方程

2. 廣義傅里葉級(jí)數(shù)

3. 加法公式

第14章本征函數(shù)論

14.1線性空間基礎(chǔ)

1. 度量空間

2. 完備性

3. 內(nèi)積空間

14.2希爾伯特空間

1. 貝塞爾不等式

2. 完備性關(guān)系

3. 函數(shù)空間

4. 連續(xù)基

14.3斯圖姆劉維爾系統(tǒng)

1. 自伴算符

2. 斯圖姆劉維爾本征方程

14.4本征值理論

1. 基本性質(zhì)

2. 廣義傅里葉級(jí)數(shù)

3. 幾種本征值問(wèn)題

14.5經(jīng)典正交多項(xiàng)式

1. 正交多項(xiàng)式

2. 正交多項(xiàng)式分類

3. 遞推關(guān)系

4. 常見(jiàn)正交多項(xiàng)式

5. 母函數(shù)

6. 按正交多項(xiàng)式展開(kāi)

第15章特殊函數(shù)

15.1貝塞爾函數(shù)

1. 圓柱坐標(biāo)系

2. 三類貝塞爾函數(shù)

3. 基本性質(zhì)

4. 本征值問(wèn)題

5. 廣義傅里葉級(jí)數(shù)

6. 母函數(shù)

15.2虛宗量貝塞爾函數(shù)

15.3球貝塞爾函數(shù)

1. 球坐標(biāo)系亥姆霍茲方程

2. 基本性質(zhì)

3. 本征值問(wèn)題

4. 廣義傅里葉級(jí)數(shù)

5. 平面波展開(kāi)

6. 變形貝塞爾方程

15.4特殊函數(shù)分類

1. 富克斯方程

2. 正規(guī)奇點(diǎn)

3. 超幾何函數(shù)

4. 特殊函數(shù)類

15.5合流超幾何函數(shù)

第16章格林函數(shù)

16.1格林函數(shù)定義

1. 形式理論

2. 二階線性微分方程

3. 斯圖姆劉維爾算符

16.2位勢(shì)方程

1. 基本解

2. 電像法

3. 本征函數(shù)展開(kāi)法

16.3應(yīng)用舉例

16.4發(fā)展方程

1. 含時(shí)問(wèn)題格林函數(shù)

2. 本征函數(shù)展開(kāi)法

3. 拉普拉斯變換法

16.5微擾展開(kāi)

1. 形式解

2. 級(jí)數(shù)展開(kāi)

第17章變分法

17.1泛函與變分

1. 最速降問(wèn)題

2. 泛函變分

17.2泛函極值

1. 變分法基本引理

2. 歐拉拉格朗日方程

3. 多元函數(shù)

4. 約束系統(tǒng)

5. 可變端點(diǎn)

17.3物理學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理

1. 費(fèi)馬原理

2. 最小作用量原理

3. 對(duì)稱性與守恒定理

4. 哈密頓力學(xué)

17.4微分方程定解問(wèn)題

1. 本征值問(wèn)題

2. 非齊次方程邊值問(wèn)題

17.5瑞利里茲近似

附錄

參考文獻(xiàn)