微積分之美

第1章 函數(shù) 極限 連續(xù) 1
§1．1 函數(shù)：微積分的研究對(duì)象 1
1．1．1 懸鏈線 2
1．1．2 函數(shù)概念及其演變 3
1．1．3 函數(shù)的圖象 4
1．1．4 黎曼猜想 5
1．1．5 問題探究：函數(shù)之美 6
1．1．6 e是所有數(shù)的老師 9
§1．2 數(shù)列的極限：微積分的奠基石 11
1．2．1 曲邊梯形的面積 12
1．2．2 割圓人間細(xì)，方蓋宇宙精 12
1．2．3 極限的定性和定量描述 14
1．2．4 問題探究：美是一切事物生成和發(fā)展的本質(zhì)特征 18
§1．3 函數(shù)極限：微積分學(xué)的研究工具 22
1．3．1 連續(xù)復(fù)利與“e” 23
1．3．2 函數(shù)極限 25
1．3．3 兩個(gè)重要極限 26
1．3．4 問題探究：極限之美 27
§1．4 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量：無(wú)窮是數(shù)學(xué)的靈魂 30
1．4．1 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 31
1．4．2 極限的四則運(yùn)算 32
1．4．3 漸進(jìn)線的定義 33
1．4．4 無(wú)窮小量的比較 34
1．4．5 問題探索：整體之美 35
1．4．6 無(wú)窮的文學(xué)意境 36
§1．5 連續(xù)函數(shù)：連續(xù)的本質(zhì)是極限 38
1．5．1 連續(xù)函數(shù)的概念 38
1．5．2 連續(xù)函數(shù)的局部形態(tài) 40
1．5．3 連續(xù)函數(shù)整體性態(tài) 41
1．5．4 問題探究：以美啟智 43
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 45
§2．1 導(dǎo)數(shù)與微分：心靈思考入微的思想顯微鏡 45
2．1．1 數(shù)學(xué)的抽象性使它具有高度的概括性 46
2．1．2 導(dǎo)數(shù)思想：無(wú)窮小之比 47
2．1．3 導(dǎo)數(shù)與微分：差商的極限 47
2．1．4 微分的應(yīng)用：近似計(jì)算 51
2．1．5 問題探究：美在運(yùn)動(dòng) 52
§2．2 微分法則：以少為美 55
2．2．1 求導(dǎo)復(fù)習(xí) 55
2．2．2 微分的四則法則 56
2．2．3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 56
2．2．4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 57
2．2．5 高階導(dǎo)數(shù) 58
2．2．6 萊布尼茨公式 58
2．2．7 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 59
2．2．8 參數(shù)方程求導(dǎo)公式 59
2．2．9 數(shù)學(xué)符號(hào)的正確應(yīng)用 60
2．2．10 相關(guān)變化率 60
2．2．11 問題探索：運(yùn)動(dòng)之美 61
第3章 微分中值定理及其應(yīng)用 64
§3．1 微分中值定理：局部與整體溝通的橋梁 64
3．1．1 羅爾中值定理 65
3．1．2 拉格朗日定理 66
3．1．3 柯西中值定理 68
3．1．4 人物簡(jiǎn)介 69
3．1．5 問題探究：化歸之美 70
§3．2 洛必達(dá)法則和泰勒公式：柯西中值定理的應(yīng)用 72
3．2．1 泰勒公式：通過(guò)無(wú)限認(rèn)識(shí)有限 72
3．2．2 洛必達(dá)法則 74
3．2．3 問題探究：最美公式 76
§3．3 微分學(xué)的應(yīng)用：運(yùn)籌帷幄中，決勝千里外 83
3．3．1 函數(shù)單調(diào)性、極值與最值：最小作用量原理 84
3．3．2 曲線的凹凸性及函數(shù)作圖：一副圖象勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ) 87
3．3．3 問題探究：美就是真 90
第4章 不定積分 97
§4．1 不定積分：尋找原函數(shù) 97
4．1．1 不定積分的物理意義 97
4．1．2 不定積分 98
4．1．3 問題探究：進(jìn)化之美 99
§4．2 積分法：化歸有理 100
4．2．1 換元積分法 101
4．2．2 分部積分法 103
4．2．3 有理分式的積分 104
4．2．4 萬(wàn)能代換求三角有理函數(shù)積分 107
4．2．5 問題探究：奇異之美 107
第5章 定積分 109
§5．1 定積分：通過(guò)局部把握整體 109
5．1．1 曲邊梯形的面積 110
5．1．2 定積分的概念 111
5．1．3 定積分的性質(zhì) 112
5．1．4 定積分思想的人文價(jià)值 114
5．1．5 問題探究：對(duì)稱之美 115
§5．2 微積分基本定理：局部和整體的完美結(jié)合 118
5．2．1 微積分基本定理的物理意義 118
5．2．2 微積分基本定理及其應(yīng)用 119
5．2．3 積分變上限函數(shù) 121
5．2．4 問題探究：變換之美 122
5．2．5 自然科學(xué)家的偶像和樣樣皆通的大師 126
5．2．6 微積分傳入中國(guó)之簡(jiǎn)史 129
5．2．7 簡(jiǎn)潔美的范例：廣義斯托克斯公式 129
5．2．8 有限與無(wú)限 130
5．2．9 微積分之歌 130
附錄A 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法 134
附錄B 有限域Chebyshev公鑰密碼算法 136
附錄C 人名索引 137
后記 143
參考資料 144