數(shù)學分析講義（第一冊）

目錄
致讀者
第1章 基礎知識 1
§1.1 集合與映射 1
§1.1.1 集合 1
§1.1.2 映射 3
§1.2 一元函數(shù) 9
§1.2.1 一元函數(shù)的定義 9
§1.2.2 具有某些特性的函數(shù) 10
§1.2.3 反函數(shù)與復合函數(shù) 12
§1.2.4 初等函數(shù) 14
§1.3 實數(shù)系 18
§1.3.1 實數(shù)系的形成 18
§1.3.2 實數(shù)系的連續(xù)性初步 19
第2章 數(shù)列極限 22
§2.1 數(shù)列極限的概念 22
§2.1.1 數(shù)列與數(shù)列極限 22
§2.1.2 數(shù)列極限的ε-N定義 23
§2.2 數(shù)列極限的性質 28
§2.2.1 數(shù)列極限的基本性質 28
§2.2.2 數(shù)列極限的四則運算性質 30
§2.2.3 無窮小數(shù)列與無窮大數(shù)列 32
§2.3 數(shù)列極限存在的判別法則 40
§2.3.1 單調有界原理 40
§2.3.2 三個重要常數(shù)π，e，γ 41
§2.3.3 子數(shù)列與致密性定理 (抽子列定理) 45
§2.3.4 Cauchy收斂準則 48
§2.4 級數(shù)初步 52
§2.4.1 級數(shù)概念 52
§2.4.2 收斂級數(shù)的性質 54
§2.4.3 正項級數(shù) 56
第3章 函數(shù)極限與連續(xù) 60
§3.1 函數(shù)的極限 60
§3.1.1 函數(shù)極限的定義 60？
§3.1.2 函數(shù)極限的性質 65
§3.1.3 兩個重要極限 69
§3.1.4 函數(shù)極限存在的充要條件 71
§3.2 無窮小量與無窮大量 75
§3.2.1 無窮小量及其階的比較 75
§3.2.2 無窮大量及其階的比較 78
§3.2.3 等價量及其代換 79
§3.3 函數(shù)的連續(xù)與間斷 83
§3.3.1 函數(shù)連續(xù)的定義 83
§3.3.2 連續(xù)函數(shù)的局部性質 85
§3.3.3 間斷點及其分類 87
§3.3.4 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 89
§3.3.5 反函數(shù)的連續(xù)性定理 91
§3.3.6 初等函數(shù)的連續(xù)性 93
§3.3.7 一致連續(xù)性初步 94
第4章 微分與導數(shù) 98
§4.1 微分和導數(shù)的定義 98
§4.1.1 微分概念的導出背景 98
§4.1.2 微分的定義 100
§4.1.3 導數(shù)的定義 101
§4.1.4 產(chǎn)生導數(shù)的實際背景 102
§4.1.5 單側導數(shù) 105
§4.2 導數(shù)四則運算和反函數(shù)求導法則 108
§4.2.1 幾個常見初等函數(shù)的導數(shù) 108
§4.2.2 導數(shù)的四則運算法則 109
§4.2.3 反函數(shù)的導數(shù) 112
§4.2.4 導數(shù)和微分在極限計算中的應用 113
§4.3 復合函數(shù)求導法則及其應用 116
§4.3.1 復合函數(shù)求導法則 116
§4.3.2 一階微分的形式不變性 119
§4.3.3 隱函數(shù)的導數(shù)與微分 120
§4.3.4 參數(shù)形式的函數(shù)的求導公式 122
§4.4 高階導數(shù)和高階微分 126
§4.4.1 高階導數(shù)的實際背景及定義 126
§4.4.2 高階導數(shù)的計算 127
§4.4.3 高階導數(shù)的運算法則 129
§4.4.4 復合函數(shù)、隱函數(shù)、反函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導數(shù) 131
§4.4.5 高階微分 133
第5章 微分中值定理Taylor公式及其應用 136
§5.1 Rolle定理Lagrange中值定理及其應用 136
§5.1.1 極值與Fermat引理 136
§5.1.2 Rolle定理 139
§5.1.3 Lagrange中值定理 140
§5.1.4 Lagrange中值定理的應用 142
§5.2 Cauchy中值定理與 L'Hospital 法則 152
§5.2.1 Cauchy中值定理 152
§5.2.2 L'Hospital法則 154
§5.3 Taylor 公式 160
§5.3.1 帶 Peano 型余項的Taylor 公式 161
§5.3.2 帶 Lagrange型余項的Taylor 公式 162
§5.3.3 幾個常見函數(shù)的Maclaurin 公式 164
§5.3.4 帶 Peano型余項Taylor公式的唯一性和間接求法 167
§5.4 微分學應用舉例 172
§5.4.1 極值的判別 172
§5.4.2 最大值與最小值 173
§5.4.3 曲線的漸近線 175
§5.4.4 函數(shù)作圖 177
§5.4.5 近似計算 178
§5.4.6 Taylor公式的其他應用 179
第6章 不定積分 184
§6.1 不定積分的概念與運算法則 184
§6.1.1 不定積分概念的提出 184
§6.1.2 基本積分表一 186
§6.1.3 不定積分的線性性質 187
§6.2 換元積分法和分部積分法 188
§6.2.1 換元積分法 189
§6.2.2 分部積分法 193
§6.2.3 基本積分表二 197
§6.3 有理函數(shù)的不定積分及應用 199
§6.3.1 有理函數(shù)的不定積分 199
§6.3.2 簡單無理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的不定積分 202
參考文獻 207
附錄 數(shù)學分析Ⅰ試卷 208
索引 213