高等工程數(shù)學(xué)

目 錄
前 言
第 1 章 數(shù)學(xué)建模與誤差分析 1
1.1 數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算 1
1.2 數(shù)學(xué)建模及其重要意義 1
1.2.1 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程 1
1.2.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 2
1.2.3 數(shù)學(xué)建模的重要意義 3
1.3 數(shù)值方法與算法評(píng)價(jià) 4
1.4 誤差的種類及其來(lái)源 6
1.4.1 模型誤差 6
1.4.2 觀測(cè)誤差 6
1.4.3 截?cái)嗾`差 6
1.4.4 舍入誤差 7
1.5 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 7
1.5.1 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限 7
1.5.2 相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限 8
1.6 誤差的傳播與估計(jì) 9
1.6.1 誤差傳播估計(jì)的一般公式 9
1.6.2 誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播 11
1.6.3 算法誤差實(shí)例分析 12
習(xí)題 1 16
第 2 章 城市供水量的預(yù)測(cè)模型———
插值與擬合算法 18
2.1 城市供水量的預(yù)測(cè)問(wèn)題 18
2.2 求未知函數(shù)近似表達(dá)式的插值法 18
2.2.1 求函數(shù)近似表達(dá)式的必要性 18
2.2.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性 19
2.3 求插值多項(xiàng)式的拉格朗日( Lagrange) 法 20
2.3.1 拉格朗日插值基函數(shù) 20
2.3.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 20
2.3.3 插值余項(xiàng) 22
2.3.4 插值誤差的事后估計(jì)法 23
2.4 求插值多項(xiàng)式的牛頓法 24
2.4.1 向前差分與牛頓向前插值公式 24
2.4.2 向后差分與牛頓向后插值公式 26
2.4.3 差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式 27
2.5 求插值多項(xiàng)式的改進(jìn)算法 29
2.5.1 分段低次插值 29
2.5.2 三次樣條插值 31
2.6 求函數(shù)近似表達(dá)式的擬合法 36
2.6.1 曲線擬合的最小二乘法 37
2.6.2 加權(quán)最小二乘法 44
2.6.3 利用正交函數(shù)作最小二乘法擬合 45
2.7 城市供水量預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)單方法 47
2.7.1 供水量增長(zhǎng)率估計(jì)與數(shù)值微分 47
2.7.2 利用插值多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù) 48
2.7.3 利用三次樣條插值函數(shù)求導(dǎo) 49
2.7.4 城市供水量預(yù)測(cè) 50
習(xí)題 2 54
第 3 章 湘江流量計(jì)算問(wèn)題———數(shù)值積分法 56
3.1 數(shù)值積分公式的構(gòu)造及代數(shù)精度 56
3.1.1 數(shù)值求積的必要性 56
3.1.2 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本方法 56
3.1.3 求積公式的余項(xiàng) 57
3.1.4 求積公式的代數(shù)精度 57
3.2 數(shù)值求積的牛頓 - 柯特斯方法 58
3.2.1 牛頓 - 柯特斯公式 59
3.2.2 復(fù)合牛頓 - 柯特斯公式 60
3.2.3 誤差的事后估計(jì)與步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇 63
3.2.4 復(fù)合梯形法的遞推算式 64
3.3 龍貝格算法 66
3.3.1 龍貝格算法的基本原理 66
3.3.2 龍貝格算法計(jì)算公式的簡(jiǎn)化 68
3.4 高斯型求積公式與測(cè)量
位置的優(yōu)化選取 69
3.4.1 高斯型求積公式的定義 69
3.4.2 高斯型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用 70
3.5 湘江流量的估計(jì) 72
習(xí)題 3 72
第 4 章 養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題———非線性方程求根的數(shù)值解法 74
4.1 養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題 74
4.1.1 問(wèn)題的引入 74
4.1.2 模型分析 74
4.1.3 模型假設(shè) 74
4.1.4 模型建立 74
4.1.5 模型求解 75
4.2 非線性方程求根的數(shù)值方法 75
4.2.1 根的搜索相關(guān)定義 75
4.2.2 逐步搜索法 75
4.2.3 二分法 76
4.2.4 迭代法 77
4.2.5 牛頓公式 82
4.2.6 牛頓法的幾何意義 82
4.2.7 牛頓法的局部收斂性 83
4.2.8 牛頓法應(yīng)用舉例 84
4.2.9 牛頓下山法 85
4.2.10 弦截法與物線法 86
4.2.11 多項(xiàng)式求值的秦九韶算法 88
4.2.12 代數(shù)方程的牛頓法 89
4.2.13 牛頓法對(duì)重根的處理 89
4.3 養(yǎng)老保險(xiǎn)模型的求解 90
習(xí)題 4 91
第 5 章 小行星軌道方程計(jì)算問(wèn)題———
線性方程組的數(shù)值解法 92
5.1 小行星軌道方程問(wèn)題 92
5.1.1 問(wèn)題的引入 92
5.1.2 模型的分析 92
5.1.3 模型的假設(shè) 93
5.1.4 模型的建立 93
5.2 線性方程組數(shù)值解法概述 93
5.3 直接解法 94
5.3.1 高斯消元法 94
5.3.2 矩陣的三角分解 97
5.3.3 高斯消元法的計(jì)算量 99
5.3.4 高斯主元素消元法 99
5.3.5 完全主元素消元法 100
5.3.6 列主元消元法 101
5.3.7 高斯 - 約當(dāng)消元法 103
5.3.8 高斯消元法的變形 105
5.3.9 平方根法 107
5.3.10 追趕法 109
5.4 迭代法 112
5.4.1 雅可比迭代法 113
5.4.2 高斯 - 賽德?tīng)柕?114
5.4.3 迭代法的收斂性 115
5.4.4 超松弛迭代法 121
5.5 誤差分析 124
5.5.1 矩陣的條件數(shù)及誤差分析 124
5.5.2 迭代改善法 128
5.5.3 舍入誤差分析 130
5.6 小行星軌道方程問(wèn)題的模型求解 130
習(xí)題 5 131
第 6 章 常微分方程數(shù)值解法 133
6.1 實(shí)際問(wèn)題的微分方程模型 133
6.2 簡(jiǎn)單的數(shù)值方法與基本概念 134
6.2.1 常微分方程初值問(wèn)題 134
6.2.2 歐拉法及改進(jìn)的歐拉法 135
6.2.3 截?cái)嗾`差與算法精度的階 137
6.3 線性多步法 140
6.3.1 數(shù)值積分法 140
6.3.2 待定系數(shù)法 142
6.4 非線性單步法———龍格 - 庫(kù)塔法 144
6.4.1 泰勒展開(kāi)法 144
6.4.2 龍格 - 庫(kù)塔法 145
6.5  一階方程組和高階方程的初值問(wèn)題 150
6.6  常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法 151
6.6.1 試射法 151
6.6.2 差分法 153
習(xí)題 6 156
第 7 章 產(chǎn)品的次品率的推斷———估計(jì)與檢驗(yàn) 157
7.1 問(wèn)題的提出 157
7.2 基本概念和重要結(jié)論 157
7.3 估計(jì)方法 161
7.3.1 點(diǎn)估計(jì) 161
7.3.2 區(qū)間估計(jì) 163高等工程數(shù)學(xué)
7.4 假設(shè)檢驗(yàn) 165
7.4.1 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 165
7.4.2 分布假設(shè)檢驗(yàn) 169
習(xí)題 7 171
第 8 章