數(shù)學方法論

目錄
第一章 數(shù)學方法論簡介 1
第一節(jié) 數(shù)學方法論概述 1
一、什么是數(shù)學？ 1
二、數(shù)學是什么科學？ 2
三、方法與數(shù)學方法 4
四、數(shù)學方法的特點 7
五、方法論與數(shù)學方法論 8
第二節(jié) 數(shù)學方法論在數(shù)學中的作用和地位 8
一、數(shù)學方法論研究的意義 8
二、數(shù)學思想的特性和作用 11
三、數(shù)學思想的教學功能 12
習題一 13
第二章 數(shù)學抽象與數(shù)學模型 15
第一節(jié) 數(shù)學抽象 15
一、數(shù)學抽象的概念 16
二、數(shù)學抽象的特點 16
三、數(shù)學抽象的基本方法 17
四、利用抽象法解決數(shù)學問題的方法 18
第二節(jié) 數(shù)學模型 22
一、數(shù)學建模基本概述 22
二、應(yīng)用舉例 24
三、數(shù)學建模報告的寫作、評價 28
習題二 29
第三章 推理思想 31
第一節(jié) 合情推理 31
一、歸納法 31
二、類比法 47
第二節(jié) 演繹推理 53
一、三段論 54
二、選言推理 56
三、假言推理 56
四、關(guān)系推理 56
第三節(jié) 直覺思維 56
一、觀察 58
二、實驗 68
三、觀察和實驗的教學 72
習題三 73
第四章 常見的數(shù)學思想與數(shù)學解題 75
第一節(jié) 符號化思想 75
一、符號對數(shù)學發(fā)展的影響 76
二、數(shù)學符號導致新的數(shù)學分支的產(chǎn)生 77
第二節(jié) 方程與函數(shù)思想 78
一、方程思想 78
二、函數(shù)思想 84
第三節(jié) 公理化思想 95
第四節(jié) 整體化思想 100
第五節(jié) 分類討論思想 107
一、分類的原因 108
二、分類的標準 108
三、分類的原則 108
四、分類討論的常規(guī)方法 109
五、用分類討論思想解題的一般步驟 109
六、分類思想應(yīng)用舉例 109
七、避開分類討論的幾種方法 117
第六節(jié) 集合思想 120
第七節(jié) 轉(zhuǎn)化與變換思想 122
一、等價條件變換 122
二、非等價變換 123
第八節(jié) 逐步逼近思想 124
習題四 128
第五章 常見的數(shù)學方法與數(shù)學解題 130
第一節(jié) 數(shù)形結(jié)合方法 130
第二節(jié) 化歸方法 138
一、化歸的原則 141
二、化歸的途徑 143
三、化歸思想在數(shù)學解題中的幾個應(yīng)用 147
第三節(jié) 關(guān)系映射反演法 152
第四節(jié) 構(gòu)造法 156
第五節(jié) 特殊化和一般化 162
第六節(jié) 反證法與同一法 169
一、反證法 169
二、同一法 174
第七節(jié) 綜合法與分析法 176
一、綜合法 176
二、分析法 178
習題五 180
第六章 數(shù)學美學 181
第一節(jié) 數(shù)學美概述 181
一、關(guān)于數(shù)學美 181
二、數(shù)學教學中美學和美育研究發(fā)展狀況 183
第二節(jié) 數(shù)學美的特征 183
第三節(jié) 數(shù)學美的教學功能 188
第四節(jié) 培養(yǎng)數(shù)學美的途徑 189
一、挖掘“數(shù)學美因”，向?qū)W生滲透數(shù)學美 189
二、利用現(xiàn)代信息技術(shù)，優(yōu)化數(shù)學審美過程 193
三、開展豐富的數(shù)學活動，讓學生在“做數(shù)學”的過程中體驗數(shù)學美 196
習題六 196
第七章 數(shù)學思想方法與數(shù)學教育 198
第一節(jié) 數(shù)學思想方法在中學數(shù)學教學的價值和作用 198
第二節(jié) 數(shù)學思想方法論的課堂教學策略 205
一、在課堂教學中貫徹數(shù)學思想方法 205
二、用數(shù)學思想方法幫助學生建構(gòu)數(shù)學概念 207
三、加強解題研究，突出數(shù)學思想方法的作用，培養(yǎng)學生學習興趣 209
四、深入分析，加強數(shù)學學科內(nèi)的聯(lián)系和知識的綜合 209
五、注重教學過程，培養(yǎng)學生的研究意識，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu) 210
六、加強解題研究，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺，學會自主學習和概括 210
習題七 211
習題答案 212
參考文獻 226