計(jì)算方法（第2版）

第1章 引論 1
　　1.1 從數(shù)學(xué)到計(jì)算 1
　　1.2 誤差理論初步 5
　　1.2.1 誤差的來源 5
　　1.2.2 誤差的度量 6
　　1.2.3 誤差的傳播 9
　　1.2.4 數(shù)值穩(wěn)定性 11
　　1.3 數(shù)值計(jì)算的若干原則 11
　　1.3.1 避免兩個(gè)相近數(shù)相減 12
1.3.2 避免用絕對(duì)值過小的數(shù)作為除數(shù) 12
　　1.3.3 要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù) 13
　　1.3.4 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，提高計(jì)算效率 14
　　1.3.5 使用數(shù)值穩(wěn)定的算法 14
　　本章小結(jié) 16
　　習(xí)題1 16
第2章 計(jì)算方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 18
　　2.1 微積分的有關(guān)概念和定理 18
　　2.1.1 數(shù)列與函數(shù)的極限 18
　　2.1.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 20
　　2.1.3 羅爾定理和微分中值定理 20
　　2.1.4 積分加權(quán)平均值定理 21
　　2.2 微分方程的有關(guān)概念和定理 22
　　2.2.1 基本概念 22
　　2.2.2 初值問題解的存在唯一性 23
　　2.3 線性代數(shù)的有關(guān)概念和定理 23
　　2.3.1 線性相關(guān)和線性無關(guān) 23
　　2.3.2 方陣及其初等變換 25
　　2.3.3 線性方程組解的存在唯一性 27
　　2.3.4 特殊矩陣 29
　　2.3.5 方陣的逆及其運(yùn)算性質(zhì) 30
　　2.3.6 矩陣的特征值及其運(yùn)算性質(zhì) 31
　　2.3.7 對(duì)稱正定矩陣 34
　　2.3.8 對(duì)角占優(yōu)矩陣 35
　　2.3.9 向量和連續(xù)函數(shù)的內(nèi)積 36
　　2.3.10 向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù) 37
　　2.3.11 向量序列與矩陣序列的極限 42
　　本章小結(jié) 43
　　習(xí)題2 43
第3章 方程求根 45
　　3.1 引言 45
　　3.2 二分法 46
　　3.3 迭代法 50
　　3.3.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代 50
　　3.3.2 迭代法的收斂性 51
　　3.3.3 迭代法的改善 57
　　3.4 牛頓迭代法 59
　　3.4.1 牛頓迭代公式及其幾何意義 59
　　3.4.2 牛頓迭代公式的收斂性 60
　　3.4.3 重根情形 63
　　3.5 弦截法 65
　　本章小結(jié) 66
　　習(xí)題3 66
第4章 解線性方程組的直接法 68
　　4.1 引言 68
　　4.2 高斯消去法 69
　　4.2.1 順序高斯消去法 69
　　4.2.2 主元素高斯消去法 73
　　4.2.3 高斯-約當(dāng)消去法 75
　　4.3 矩陣三角分解法 77
　　4.3.1 高斯消去法與矩陣三角分解 77
　　4.3.2 直接三角分解法 78
　　4.4 解三對(duì)角方程組的追趕法 82
　　4.5 誤差分析 85
　　4.5.1 病態(tài)方程組與條件數(shù) 85
　　4.5.2 病態(tài)方程組的解法 89
　　本章小結(jié) 90
　　習(xí)題4 90
第5章 解線性方程組的迭代法 92
　　5.1 引言 92
　　5.2 雅可比迭代法 94
　　5.3 高斯-塞德爾迭代法 95
　　5.4 迭代法的收斂性 97
　　本章小結(jié) 104
　　習(xí)題5 104
第6章 函數(shù)插值 107
　　6.1 引言 107
　　6.1.1 插值問題 107
　　6.1.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性 108
　　6.2 拉格朗日插值 109
　　6.2.1 線性插值與拋物插值 109
　　6.2.2 拉格朗日插值 111
　　6.2.3 插值余項(xiàng)與誤差估計(jì) 113
　　6.3 牛頓插值 117
　　6.4 埃爾米特插值 121
　　6.5 分段低次插值 123
　　6.5.1 高次插值與龍格現(xiàn)象 123
　　6.5.2 分段線性插值 124
　　6.5.3 分段三次埃爾米特插值 126
　　6.6 樣條函數(shù)插值 128
　　6.6.1 三次樣條插值函數(shù) 128
　　6.6.2 三次樣條插值函數(shù)的求法 130
　　本章小結(jié) 133
　　習(xí)題6 133
第7章 函數(shù)逼近 137
　　7.1 引言 137
　　7.2 函數(shù)的內(nèi)積與正交多項(xiàng)式 138
　　7.2.1 權(quán)函數(shù)和函數(shù)的內(nèi)積 138
　　7.2.2 正交函數(shù)系 138
　　7.2.3 勒讓德多項(xiàng)式 140
　　7.2.4 切比雪夫多項(xiàng)式 141
　　7.3 最佳一致逼近 142
　　7.3.1 基本概念 142
　　7.3.2 線性最佳一致逼近多項(xiàng)式 143
　　7.3.3 近似最佳一致逼近多項(xiàng)式 145
　　7.4 最佳平方逼近 146
　　7.4.1 基本概念 146
　　7.4.2 最佳平方逼近函數(shù) 147
　　7.5 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 149
　　7.5.1 曲線擬合問題 149
　　7.5.2 多項(xiàng)式擬合 150
　　7.5.3 正交多項(xiàng)式擬合 152
　　本章小結(jié) 153
　　習(xí)題7 154
第8章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 155
　　8.1 引言 155
　　8.1.1 數(shù)值求積的必要性 155
　　8.1.2 數(shù)值積分的基本思想 156
　　8.1.3 代數(shù)精度 156
　　8.1.4 插值型求積公式 158
　　8.2 牛頓-柯特斯求積公式 160
　　8.2.1 牛頓-柯特斯公式的導(dǎo)出 160
　　8.2.2 牛頓-柯特斯公式的誤差估計(jì) 162
　　8.3 復(fù)合求積公式 164
　　8.3.1 復(fù)合梯形求積公式 165
　　8.3.2 復(fù)合辛普生求積公式 166
　　8.4 外推算法與龍貝格算法 168
　　8.4.1 變步長(zhǎng)的求積公式 168
　　8.4.2 外推算法 169
　　8.4.3 龍貝格求積公式 170
　　8.5 高斯求積公式 174
　　8.5.1 高斯點(diǎn)與高斯求積公式 174
　　8.5.2 高斯-勒讓德求積公式 175
　　8.5.3 高斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性 178
　　8.6 數(shù)值微分 179
　　8.6.1 中點(diǎn)公式 179
　　8.6.2 插值型微分公式 181
　　本章小結(jié) 183
　　習(xí)題8 183
第9章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 187
　　9.1 引言 187
　　9.2 歐拉公式 189
　　9.2.1 歐拉公式及其意義 189
　　9.2.2 歐拉公式的變形 190
　　9.3 單步法的局部截?cái)嗾`差和方法的階 193
　　9.4 龍格-庫(kù)塔方法 196
　　9.4.1 龍格-庫(kù)塔方法的基本思想 196
　　9.4.2 二階龍格-庫(kù)塔方法的推導(dǎo) 196
　　9.4.3 四階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔方法 199
　　9.5 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 201
　　9.5.1 單步法的收斂性 202
　　9.5.2 單步法的穩(wěn)定性 204
　　本章小結(jié) 207
　　習(xí)題9 207
第10章 矩陣特征值計(jì)算 210
　　10.1 引言 210
　　10.2 冪法及反冪法 212
　　10.2.1 冪法 212
　　10.2.2 反冪法 215
　　10.3 QR方法 216
　　10.3.1 反射變換 217
　　10.3.2 矩陣的QR分解 218
　　10.3.3 QR方法 220
　　10.4 雅可比方法 221
　　10.4.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣 221
　　10.4.2 雅可比方法及其改進(jìn) 223
　　本章小結(jié) 225
　　習(xí)題10 226
第11章 函數(shù)優(yōu)化計(jì)算 227
　　11.1 引言 227
　　11.2 一元函數(shù)優(yōu)化計(jì)算 228
　　11.2.1 牛頓法 228
　　11.2.2 擬牛頓法 230
　　11.2.3 黃金分割法 231
　　11.3 多元函數(shù)優(yōu)化計(jì)算 232
　　11.3.1 多元函數(shù)有最優(yōu)解的條件 232
　　11.3.2 多元函數(shù)數(shù)值求解的原則 233
　　11.3.3 梯度法 234
　　11.3.4 牛頓法 236
　　11.3.5 共軛方向法 238
　　11.3.6 擬牛頓法（變尺度法） 240
　　本章小結(jié) 242
　　習(xí)題11 243
第12章 MATLAB編程基礎(chǔ)及其在計(jì)算方法中的應(yīng)用 244
　　12.1 MATLAB簡(jiǎn)介 244
　　12.2　命令窗口和基本命令 245
　　12.3 變量、常量和數(shù)據(jù)類型 246
　　12.4 數(shù)值運(yùn)算 247
　　12.4.1 向量運(yùn)算 247
　　12.4.2 矩陣運(yùn)算 248
　　12.5 符號(hào)運(yùn)算 251
　　12.5.1 字符串運(yùn)算 251
　　12.5.2 符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算 252
　　12.5.3 符號(hào)矩陣運(yùn)算 255
　　12.5.4 符號(hào)微積分運(yùn)算 256
　　12.5.5 方程求解 258
　　12.6 圖形可視化 260
　　12.6.1 二維圖形繪制 260
　　12.6.2 三維圖形繪制 261
　　12.7 程序設(shè)計(jì) 262
　　12.7.1 命令文件與函數(shù)文件 262
　　12.7.2 控制語句 263
　　12.7.3 調(diào)試方法 265
　　12.8 MATLAB在計(jì)算方法中的應(yīng)用 266
　　12.8.1 方程求根 266
　　12.8.2 解線性方程組的直接法 270
　　12.8.3 解線性方程組的迭代法 275
　　12.8.4 函數(shù)插值 278
　　12.8.5 函數(shù)逼近 281
　　12.8.6 數(shù)值積分 283
　　12.8.7 常微分方程的數(shù)值解法 287
　　12.8.8 矩陣特征值問題計(jì)算 291
　　12.8.9 函數(shù)優(yōu)化計(jì)算 297
　　本章小結(jié) 299
　　習(xí)題12 300
附錄A 計(jì)算方法實(shí)驗(yàn) 301
　　實(shí)驗(yàn)1 方程求根 302
　　實(shí)驗(yàn)2　解方程組的直接法 303
　　實(shí)驗(yàn)3 解線性方程組的迭代法 304
　　實(shí)驗(yàn)4 插值問題 305
　　實(shí)驗(yàn)5 曲線擬合 306
　　實(shí)驗(yàn)6 數(shù)值積分 307
　　實(shí)驗(yàn)7 數(shù)值微分 308
　　實(shí)驗(yàn)8 求解常微分方程的初值問題 309
　　實(shí)驗(yàn)9 求解三對(duì)角線性方程組 310
　　實(shí)驗(yàn)10 矩陣特征值問題計(jì)算 312
　　實(shí)驗(yàn)11 函數(shù)優(yōu)化計(jì)算 313
參考文獻(xiàn) 315