高等數(shù)學競賽題解析教程（2013 本科適用）

專題1 極限與連續(xù)
1.1 基本概念與內容提要
1.一無函數(shù)基本概念
2.數(shù)列的極限
3.函數(shù)的極限
4.證明數(shù)列或函數(shù)極限存在的方法
5.無窮小量
6.無窮大量
7.求數(shù)列或函數(shù)的極限的方法
8.函數(shù)的連續(xù)性
1.2 競賽題與精選題解析
1.求函數(shù)的表達式（例1.1—1.4）
2.利用四則運算求極限（例1.5—1.18）
3.利用夾逼準則與單調有界準則求極限（例1.19—1.28）
4.利用兩個重要極限求極限（例1.29—1.32）
5.利用等價無窮小因子代換求極限（例1.33—1.38）
6.無窮小比較與無窮大比較（例1.39—1.42）
7.連續(xù)性與間斷點（例1.43—1.49）
8.利用介值定理的證明題（例1.50—1.54）
練習題一
專題2 一元函數(shù)微分學
2.1 基本概念與內容提要>
1.導數(shù)的定義
2.左、右導數(shù)的定義
3.微分概念
4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
5.求導法則
6.高階導數(shù)
7.微分申值定理
8.泰勒公式與馬克勞林公式
9.洛必達法則
10.導數(shù)在幾何上的應用
2.2 競賽題與精選題解析
1.利用導數(shù)的定義解題（例2.1—2.7）
2.利用求導法則解題（例2.8—2.15）
3.求高階導數(shù)（例2.16—2.29）
4.與微分中值定理有關的證明題（例2.3—2.49）
5.馬克勞林公式與泰勒公式的應用（例2.50—2.70）
6.利用洛必達法則求極限（例2.71—2.81）
7.導數(shù)在幾何上的應用（例2.82—2.101）
8.不等式的證明（例2.102—2.113）
練習題二
專題3 一元函數(shù)積分學
3.1 基本概念與內容提要
1.不定積分基本概念
2.基本積分公式
3.不定積分的計算
4.定積分基本概念
5.定積分中值定理
6.變限的定積分
7.定積分的計算
8.奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定積分的性質
9.定積分在幾何與物理上的應用
10.廣義積分
3.2 競賽題與精選題解析
1.求原函數(shù)（例3.1—3.4）
2.求不定積分（例3.5—3.19）
3.利用定積分的定義求極限（例3.20—3.26）
4.應用積分中值定理解題（例3.27—3.32）
5.變限的定積分的應用（例3.33—3.48）
6.定積分的計算（例3.49—3.67）
7.定積分在幾何與物理上的應用（例3.68—3.79）
8.積分不等式的證明（例3.80—3.1.7）
9.積分等式的證明（例3.108—3.110）
10.廣義積分（例3.111—3.120）
練習題三
專題4 多元函數(shù)微分學
4.1 基本概念與內容提要
1.二元函數(shù)的極限與連續(xù)性
2.偏導數(shù)與全微分
3.多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)..
4.高階偏導數(shù)
5.二元函數(shù)的極值
6.條件極值
7.多元函數(shù)的最值
4.2 競賽題與精選題解析
1.求二元函數(shù)的極限（例4.1—4.2）
2.二元函數(shù)的連續(xù)性、可偏導性與可微性（例4.3—4.8）
3.求多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)（例4.9—4.20）
4.求高階偏導數(shù)（例4.21—4.3.）
5.求二元函數(shù)的極值（例4.31—4.35）
6.求條件極值（例4.36—4.39）
7.求多元函數(shù)在有界閉域上的最值（例4.40—4.41）
練習題四
專題5 多元函數(shù)積分學
5.1 基本概念與內容提要
1.二重積分基本概念
2.二重積分的計算
3.交換二次積分的次序
4.三重積分基本概念與計算
5.重積分的應用
6.曲線積分基本概念與計算
7.格林公式
8.曲面積分基本概念與計算
9.斯托克斯公式
10.高斯公式
5.2 競賽題與精選題解析
1.二重積分的計算（例5.1—5.15）
2.交換二次積分的次序（例5.16—5.26）
3.三重積分的計算（例5.27—5.31）
4.與重積分有關的不等式的證明（例5.32—5.38）
5.曲線積分的計算（例5.39—5.44）
6.應用格林公式解題（例5.45—5.55）
7.曲面積分的計算（例5.56—5.58）
8.應用斯托克斯公式解題（例5.59—5.60）
9.應用高斯公式解題（例5.61—5.67）
10.多元函數(shù)積分學的應用題（例5.68—5.77）
練習題五
專題6 空間解析幾何
6.1 基本概念與內容提要
1.向量的基本概念與向量的運算
2.空間的平面
3.空間的直線
4.空間的曲面
5.空間的曲線
6.2 競賽題與精選題解析
1.向量的運算（例6.1—6.5）
2.空間平面的方程（例6.6—6.9）
3.空間直線的方程（例6.10—6.15）
4.空間曲面的方程與空間曲面的切平面（例6.16—6.27）
5.空間曲線的方程與空間曲線的切線（例6.28—6.32）
練習題六
專題7 級數(shù)
7.1 基本概念與內容提要
1.數(shù)項級數(shù)的主要性質
2.正項級數(shù)斂散性判別法
3.任意項級數(shù)斂散性判別法
4.冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域與和函數(shù)
5.初等函數(shù)關于x的冪級數(shù)展開式
6.傅氏級數(shù)
7.2 競賽題與精選題解析
1.判別正項級數(shù)的斂散性（例7.1—7.16）
2.判別任意項級數(shù)的斂散性（例7.17—7.28）
3.求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)（例7.29—7.46）
4.求數(shù)項級數(shù)的和（例7.47—7.54）
5.求初等函數(shù)關于I的冪級數(shù)展開式（例7.55—7.61）
6.求函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式（例7.62）
練習題七
專題8 微分方程
8.1 基本概念與內容提要
1.微分方程的基本概念
2.一階微分方程
3.二階微分方程
4.微分方程的應用
8.2 競賽題與精選題解析
1.微分方程的特解（例8.1—8.3）
2.變量可分離方程的應用題（例8.4—8.8）
3.齊次微分方程的應用題（例8.9）
4.一階線性微分方程的應用題（例8.10—8.12）
5.求解二階線性微分方程（例8.13—8.20）
6.求解可化為二階線性微分方程的微分方程（例8.21—8.22）
練習題八
練習題答案與提示