從數(shù)學觀點看物理世界：幾何分析引力場與相對論

前言
第1章 張量分析及其物理意義
1.1　概念與背景
1.1.1　動機與背景介紹
1.1.2　Descartes張量
1.1.3　k重線性函數(shù)方式的張量等價定義
1.1.4　物理中二階張量的例子
1.1.5　張量不變量與定律的協(xié)變性
1.2　基本性質
1.2.1　張量代數(shù)運算
1.2.2　對稱與反對稱張量
1.2.3　反對稱張量的外積運算
1.2.4　張量的判別準則
1.2.5　各向同性張量
1.2.6　二階張量特性
1.3　張量場及其微分運算
1.3.1　張量場
1.3.2　張量場的不變函數(shù)與偏微分方程協(xié)變性
1.3.3　微分形式與反對稱張量場
1.3.4　梯度算子及物理作用
1.3.5　散度及其物理意義
1.3.6　向量場旋度與Stokes公式
1.3.7　電磁場的Maxwell方程
1.4　張量分析在流體動力學中應用
1.4.1　形變速度張量
1.4.2　流體運動方程
1.4.3　本構方程
1.4.4　Navier-Stokes方程
1.5　變換群表示下的張量
1.5.1　變換群觀念的張量
1.5.2　群表示張量的不變量
1.5.3　反演變換及贗張量
1.5.4　SO(3)群的雙值表示及旋量
1.5.5　旋量的物理解說
1.5.6　旋量Bose-Einstein凝聚方程的協(xié)變性
1.6　評注
第2章 彎曲空間的數(shù)學理論--Riemann幾何
2.1　幾何與物理關系概論
2.1.1　宇宙背景空間與幾何學
2.1.2　微分流形--彎曲空間的數(shù)學抽象
2.1.3　物理向量場與切空間
2.1.4　定律協(xié)變性背景下的流形張量場
2.1.5　流形上協(xié)變微分與聯(lián)絡
2.1.6　張量不變量的物理意義
2.2　流形上的向量場
2.2.1　向量場流的概念
2.2.2　Frobenius定理--向量場編織流形的充要條件
2.2.3　帶邊流形向量場指標與邊界環(huán)繞數(shù)公式
2.2.4　切球叢截面特征數(shù)
2.2.5　余切場及余切球叢上指標理論
2.2.6　由球叢截面特征數(shù)看指標公式
2.2.7　環(huán)繞數(shù)公式在流體動力學中應用
2.3　Riemann幾何基礎
2.3.1　內蘊幾何的自然觀點
2.3.2　Riemann度量產生的初等幾何
2.3.3　度量空間等距類
2.3.4　短程線誘導的協(xié)變導數(shù)
2.3.5　測地坐標系
2.3.6　曲率張量
2.4　Riemann流形上微分形式
2.4.1　流形上微分形式
2.4.2　微分形式的積分與stokes公式
2.4.3　Allendoerfer-Fenchel微分形式
2.4.4　Q0(M)中的內積結構
2.4.5　Laplace-Beltrami算子
2.4.6　Hodge分解定理
2.5　評注
第3章 整體微分幾何理論
3.1　流形共軛結構理論概述
3.1.1　共軛元及其指標概念
3.1.2　同調群及其幾何化定理
3.1.3　共軛對稱性定理
3.1.4　de Rham上同調的幾何表示
3.1.5　微分形式的譜級數(shù)展開
3.2　Riemann度量對角化理論
3.2.1　度量對角化充要條件
3.2.2　對角化度量的聯(lián)絡與曲率張量
3.2.3　向量場和余切向量場的△算子
3.2.4　WeitzenbSck公式
3.2.5　Lipschitz-Killing曲率
3.3　2n維帶邊流形上廣義Gauss-Bonnet公式
3.3.1　概況性介紹
3.3.2　微分形式觀念的仿射聯(lián)絡與曲率
3.3.3　聯(lián)絡流形上一般標架場的結構方程
3.3.4　Riemann流形上正交標架場的結構方程
3.3.5　二維Gauss.Bonnet(GB)公式
3.3.6　陳省身微分形式
3.3.7　廣義GB公式
3.3.8　各類指標公式的流形可加性與邊界性質
3.4　評注
第4章 物理背景下的幾何分析
4.1　流形上的分析框架
4.1.1　向量叢與截面
4.1.2　關于截面的Sobolev空間
4.1.3　Sobolev嵌入定理及其實質
4.1.4　Rellich-Kondrachov緊嵌入
4.2　向量叢上的微分算子
4.2.1　基本概念
4.2.2　橢圓微分算子
4.2.3　截面的梯度與散度
4.2.4　向量場的Helmho~z分解
4.2.5　內積叢截面的正交分解
4.2.6　相對論引力效應的Navier-Stokes算子
4.3　Riemann度量泛函變分原理
4.3.1　物理背景
4.3.2　度量泛函變分學的基本框架
4.3.3　零散度變分的標量勢定理
4.3.4　Einstein-Hilbert泛函
4.3.5　度量張量的Einstein場方程
4.3.6　對角化度量的變分問題
4.3.7　度量能量的Hamilton系統(tǒng)
4.4　評注
第5章 物理學基本原理
5.1　相對性原理
5.1.1　Newton絕對時空觀念
5.1.2　Galileo不變性與Lorentz變換
5.1.3　Einstein相對性原理
5.1.4　相對論力學
5.2　相對論物理學
5.2.1　Minkowski四維空間
5.2.2　Lorentz張量
5.2.3　四維動質能向量以及三角關系式
5.2.4　Lorentz電磁場張量與相對論不變量
5.2.5　電動力學方程的協(xié)變性
5.2.6　相對論量子力學方程
5.2.7　Lorentz群旋量表示及Dirac方程協(xié)變性
5.3　Lagrange動力學原理
5.3.1　引言
5.3.2　相對論力學最小作用原理
5.3.3　電動力學的作用量
5.3.4　量子物理中的Lagrange密度
5.3.5　對稱性與守恒量對應的Noether定理
5.4　Hamilton動力學原理
5.4.1　能量守恒系統(tǒng)的動力學
5.4.2　電磁場的能量密度
5.4.3　量子Hamilton系統(tǒng)
5.4.4　旋量BEC方程
5.5　評注
第6章 廣義相對論與引力場
6.1　相對論引力場理論
6.1..1　等效原理
6.1.2　廣義相對性原理
6.1.3　Lagrange動力學原理的引力場方程
6.1.4　引力場方程非變分原理的推導
6.1.5　引力場中的電動力學方程
6.1.6　能量動量張量表達公式
6.2　考慮暗能量效應的引力場方程
6.2.1　宇宙中的暗能量
6.2.2　帶標量勢的引力場方程
6.2.3　修正場方程的點源引力場理論
6.2.4　球對稱場的引力勢
6.2.5　真空場的Schwarzschild解
6.3　廣義相對論的驗證
6.3.1　球對稱場中的運動守恒量
6.3.2　Schwarzschild場中的運動方程
6.3.3　水星近日點進動
6.3.4　光線在引力場的偏轉
6.3.5　光的引力紅移
6.4　黑洞
6.4.1　Schwarzschild半徑
6.4.2　黑洞形成的物理條件
6.4.3　星體的密度極限
6.4.4　黑洞的探測
6.5　評注
第7章 宇宙學
7.1　宇宙的構成
7.1.1　恒星分布的HR圖
7.1.2　星團
7.1.3　星系與銀河系
7.1.4　星系團和巨洞
7.1.5　暗物質與暗能量
7.2　大爆炸理論
7.2.1　Hubble定律
7.2.2　宇宙的膨脹
7.2.3　宇宙起源的大爆炸
7.2.4　微波背景輻射
7.2.5　氦元素的豐度
7.3　宇宙的演化
7.3.1　宇宙學原理
7.3.2　Newton引力的宇宙動力學
7.3.3　Friedmann模型
7.3.4　Lemaitre的A方程
7.3.5　帶標量勢的宇宙學理論
7.4　暗物質暗能量的統(tǒng)一理論
7.4.1　框架性介紹
7.4.2　球對稱引力場方程
7.4.3　相容性問題
7.4.4　標量勢能與引力相互作用公式
7.4.5　簡化的引力公式
7.4.6　非均勻性的效應
7.4.7　暗物質與暗能量機理
7.4.8　總結性結論
7.5　評注
參考文獻