從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看物理世界：幾何分析引力場(chǎng)與相對(duì)論

前言
第1章 張量分析及其物理意義
1.1　概念與背景
1.1.1　動(dòng)機(jī)與背景介紹
1.1.2　Descartes張量
1.1.3　k重線性函數(shù)方式的張量等價(jià)定義
1.1.4　物理中二階張量的例子
1.1.5　張量不變量與定律的協(xié)變性
1.2　基本性質(zhì)
1.2.1　張量代數(shù)運(yùn)算
1.2.2　對(duì)稱與反對(duì)稱張量
1.2.3　反對(duì)稱張量的外積運(yùn)算
1.2.4　張量的判別準(zhǔn)則
1.2.5　各向同性張量
1.2.6　二階張量特性
1.3　張量場(chǎng)及其微分運(yùn)算
1.3.1　張量場(chǎng)
1.3.2　張量場(chǎng)的不變函數(shù)與偏微分方程協(xié)變性
1.3.3　微分形式與反對(duì)稱張量場(chǎng)
1.3.4　梯度算子及物理作用
1.3.5　散度及其物理意義
1.3.6　向量場(chǎng)旋度與Stokes公式
1.3.7　電磁場(chǎng)的Maxwell方程
1.4　張量分析在流體動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用
1.4.1　形變速度張量
1.4.2　流體運(yùn)動(dòng)方程
1.4.3　本構(gòu)方程
1.4.4　Navier-Stokes方程
1.5　變換群表示下的張量
1.5.1　變換群觀念的張量
1.5.2　群表示張量的不變量
1.5.3　反演變換及贗張量
1.5.4　SO(3)群的雙值表示及旋量
1.5.5　旋量的物理解說
1.5.6　旋量Bose-Einstein凝聚方程的協(xié)變性
1.6　評(píng)注
第2章 彎曲空間的數(shù)學(xué)理論--Riemann幾何
2.1　幾何與物理關(guān)系概論
2.1.1　宇宙背景空間與幾何學(xué)
2.1.2　微分流形--彎曲空間的數(shù)學(xué)抽象
2.1.3　物理向量場(chǎng)與切空間
2.1.4　定律協(xié)變性背景下的流形張量場(chǎng)
2.1.5　流形上協(xié)變微分與聯(lián)絡(luò)
2.1.6　張量不變量的物理意義
2.2　流形上的向量場(chǎng)
2.2.1　向量場(chǎng)流的概念
2.2.2　Frobenius定理--向量場(chǎng)編織流形的充要條件
2.2.3　帶邊流形向量場(chǎng)指標(biāo)與邊界環(huán)繞數(shù)公式
2.2.4　切球叢截面特征數(shù)
2.2.5　余切場(chǎng)及余切球叢上指標(biāo)理論
2.2.6　由球叢截面特征數(shù)看指標(biāo)公式
2.2.7　環(huán)繞數(shù)公式在流體動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用
2.3　Riemann幾何基礎(chǔ)
2.3.1　內(nèi)蘊(yùn)幾何的自然觀點(diǎn)
2.3.2　Riemann度量產(chǎn)生的初等幾何
2.3.3　度量空間等距類
2.3.4　短程線誘導(dǎo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)
2.3.5　測(cè)地坐標(biāo)系
2.3.6　曲率張量
2.4　Riemann流形上微分形式
2.4.1　流形上微分形式
2.4.2　微分形式的積分與stokes公式
2.4.3　Allendoerfer-Fenchel微分形式
2.4.4　Q0(M)中的內(nèi)積結(jié)構(gòu)
2.4.5　Laplace-Beltrami算子
2.4.6　Hodge分解定理
2.5　評(píng)注
第3章 整體微分幾何理論
3.1　流形共軛結(jié)構(gòu)理論概述
3.1.1　共軛元及其指標(biāo)概念
3.1.2　同調(diào)群及其幾何化定理
3.1.3　共軛對(duì)稱性定理
3.1.4　de Rham上同調(diào)的幾何表示
3.1.5　微分形式的譜級(jí)數(shù)展開
3.2　Riemann度量對(duì)角化理論
3.2.1　度量對(duì)角化充要條件
3.2.2　對(duì)角化度量的聯(lián)絡(luò)與曲率張量
3.2.3　向量場(chǎng)和余切向量場(chǎng)的△算子
3.2.4　WeitzenbSck公式
3.2.5　Lipschitz-Killing曲率
3.3　2n維帶邊流形上廣義Gauss-Bonnet公式
3.3.1　概況性介紹
3.3.2　微分形式觀念的仿射聯(lián)絡(luò)與曲率
3.3.3　聯(lián)絡(luò)流形上一般標(biāo)架場(chǎng)的結(jié)構(gòu)方程
3.3.4　Riemann流形上正交標(biāo)架場(chǎng)的結(jié)構(gòu)方程
3.3.5　二維Gauss.Bonnet(GB)公式
3.3.6　陳省身微分形式
3.3.7　廣義GB公式
3.3.8　各類指標(biāo)公式的流形可加性與邊界性質(zhì)
3.4　評(píng)注
第4章 物理背景下的幾何分析
4.1　流形上的分析框架
4.1.1　向量叢與截面
4.1.2　關(guān)于截面的Sobolev空間
4.1.3　Sobolev嵌入定理及其實(shí)質(zhì)
4.1.4　Rellich-Kondrachov緊嵌入
4.2　向量叢上的微分算子
4.2.1　基本概念
4.2.2　橢圓微分算子
4.2.3　截面的梯度與散度
4.2.4　向量場(chǎng)的Helmho~z分解
4.2.5　內(nèi)積叢截面的正交分解
4.2.6　相對(duì)論引力效應(yīng)的Navier-Stokes算子
4.3　Riemann度量泛函變分原理
4.3.1　物理背景
4.3.2　度量泛函變分學(xué)的基本框架
4.3.3　零散度變分的標(biāo)量勢(shì)定理
4.3.4　Einstein-Hilbert泛函
4.3.5　度量張量的Einstein場(chǎng)方程
4.3.6　對(duì)角化度量的變分問題
4.3.7　度量能量的Hamilton系統(tǒng)
4.4　評(píng)注
第5章 物理學(xué)基本原理
5.1　相對(duì)性原理
5.1.1　Newton絕對(duì)時(shí)空觀念
5.1.2　Galileo不變性與Lorentz變換
5.1.3　Einstein相對(duì)性原理
5.1.4　相對(duì)論力學(xué)
5.2　相對(duì)論物理學(xué)
5.2.1　Minkowski四維空間
5.2.2　Lorentz張量
5.2.3　四維動(dòng)質(zhì)能向量以及三角關(guān)系式
5.2.4　Lorentz電磁場(chǎng)張量與相對(duì)論不變量
5.2.5　電動(dòng)力學(xué)方程的協(xié)變性
5.2.6　相對(duì)論量子力學(xué)方程
5.2.7　Lorentz群旋量表示及Dirac方程協(xié)變性
5.3　Lagrange動(dòng)力學(xué)原理
5.3.1　引言
5.3.2　相對(duì)論力學(xué)最小作用原理
5.3.3　電動(dòng)力學(xué)的作用量
5.3.4　量子物理中的Lagrange密度
5.3.5　對(duì)稱性與守恒量對(duì)應(yīng)的Noether定理
5.4　Hamilton動(dòng)力學(xué)原理
5.4.1　能量守恒系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)
5.4.2　電磁場(chǎng)的能量密度
5.4.3　量子Hamilton系統(tǒng)
5.4.4　旋量BEC方程
5.5　評(píng)注
第6章 廣義相對(duì)論與引力場(chǎng)
6.1　相對(duì)論引力場(chǎng)理論
6.1..1　等效原理
6.1.2　廣義相對(duì)性原理
6.1.3　Lagrange動(dòng)力學(xué)原理的引力場(chǎng)方程
6.1.4　引力場(chǎng)方程非變分原理的推導(dǎo)
6.1.5　引力場(chǎng)中的電動(dòng)力學(xué)方程
6.1.6　能量動(dòng)量張量表達(dá)公式
6.2　考慮暗能量效應(yīng)的引力場(chǎng)方程
6.2.1　宇宙中的暗能量
6.2.2　帶標(biāo)量勢(shì)的引力場(chǎng)方程
6.2.3　修正場(chǎng)方程的點(diǎn)源引力場(chǎng)理論
6.2.4　球?qū)ΨQ場(chǎng)的引力勢(shì)
6.2.5　真空?qǐng)龅腟chwarzschild解
6.3　廣義相對(duì)論的驗(yàn)證
6.3.1　球?qū)ΨQ場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)守恒量
6.3.2　Schwarzschild場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程
6.3.3　水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)
6.3.4　光線在引力場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)
6.3.5　光的引力紅移
6.4　黑洞
6.4.1　Schwarzschild半徑
6.4.2　黑洞形成的物理?xiàng)l件
6.4.3　星體的密度極限
6.4.4　黑洞的探測(cè)
6.5　評(píng)注
第7章 宇宙學(xué)
7.1　宇宙的構(gòu)成
7.1.1　恒星分布的HR圖
7.1.2　星團(tuán)
7.1.3　星系與銀河系
7.1.4　星系團(tuán)和巨洞
7.1.5　暗物質(zhì)與暗能量
7.2　大爆炸理論
7.2.1　Hubble定律
7.2.2　宇宙的膨脹
7.2.3　宇宙起源的大爆炸
7.2.4　微波背景輻射
7.2.5　氦元素的豐度
7.3　宇宙的演化
7.3.1　宇宙學(xué)原理
7.3.2　Newton引力的宇宙動(dòng)力學(xué)
7.3.3　Friedmann模型
7.3.4　Lemaitre的A方程
7.3.5　帶標(biāo)量勢(shì)的宇宙學(xué)理論
7.4　暗物質(zhì)暗能量的統(tǒng)一理論
7.4.1　框架性介紹
7.4.2　球?qū)ΨQ引力場(chǎng)方程
7.4.3　相容性問題
7.4.4　標(biāo)量勢(shì)能與引力相互作用公式
7.4.5　簡(jiǎn)化的引力公式
7.4.6　非均勻性的效應(yīng)
7.4.7　暗物質(zhì)與暗能量機(jī)理
7.4.8　總結(jié)性結(jié)論
7.5　評(píng)注
參考文獻(xiàn)