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內(nèi)容簡介

　　本書起點低，但內(nèi)容豐富，包括了現(xiàn)代數(shù)論的基本知識，如：橢圓曲線、p進(jìn)數(shù)、代數(shù)數(shù)域、局部—整體方法等。該書的主要目標(biāo)是證明數(shù)論的頂峰之一：類域論。在以往的數(shù)論書籍中，代數(shù)數(shù)論、橢圓曲線、類域論是分開的三本書，但本書在有限的篇幅內(nèi)，將三者巧妙地融為一體，使讀者能很快地達(dá)到數(shù)論的一個頂峰。開篇通過介紹Fermat的工作，給出了現(xiàn)代數(shù)論的一些定理的背景和意義。對于初學(xué)者難以掌握的類域論，專門有一章介紹類域論的背景和主要定理的意義。類域論的主要定理通過應(yīng)用（函數(shù)計算Brauei-群而得到證明。本書的另一特點是先承認(rèn)一些結(jié)論，然后推導(dǎo)出一些進(jìn)一步的結(jié)果，而將它們的證明放在一起一個一個地進(jìn)行。本書的第零章通過介紹：Fermat的工作和結(jié)果，從而窺見豐富的、深奧的數(shù)的世界。第一章以Fermat的工作為起點，介紹橢圓曲線的基本知識。第二章介紹p進(jìn)數(shù)及二次曲線的Hasse原理。第三章介紹了（函數(shù)在整點的特殊值。這幾章適合于僅知道群、環(huán)、域概念的低年級本科生。后面幾章關(guān)于代數(shù)數(shù)論和類域論的內(nèi)容適合于高年級本科生和研究生學(xué)習(xí)。

作者簡介

　　加藤和也，1952年出生，1975年畢業(yè)于東京大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任京都大學(xué)研究生院理學(xué)研究科教授，專業(yè)：數(shù)論。黑川信重，1952年出生，1975年畢業(yè)于東京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任東京工業(yè)大學(xué)研究生院理工學(xué)研究科教授，專業(yè)：數(shù)論。齋藤毅，1961年出生，1984年畢業(yè)于東京大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任東京大學(xué)研究生院數(shù)理科學(xué)研究科教授，專業(yè)：數(shù)論。

圖書目錄

中文版序言
前言
寫在單行本發(fā)行之際
理論的概要及目標(biāo)
數(shù)學(xué)記號與用語
第零章序——Fermat和數(shù)論
§0.1 Fermat以前
§0.2 素數(shù)與二平方和
§0.3 p=x2+2y2，p=x2+3y2
§0.4 Pell方程
§0.5 3角數(shù)，4角數(shù)，5角數(shù)
§0.6 3角數(shù)，平方數(shù)，立方數(shù)
§0.7 直角三角形與橢圓曲線
§0.8 Fermat大定理
習(xí)題
第一章橢圓曲線的有理點
§1.1 Fermat與橢圓曲線
§1.2 橢圓曲線的群結(jié)構(gòu)
§1.3 Mordell定理
小結(jié)
習(xí)題
第二章二次曲線與p進(jìn)數(shù)域
§2.1 二次曲線
§2.2 同余式
§2.3 二次曲線與二次剩余符號
§2.4 p進(jìn)數(shù)域
§2.5 p進(jìn)數(shù)域的乘法構(gòu)造
§2.6 二次曲線的有理點
小結(jié)
習(xí)題
第三章 ζ
§3.1 ζ函數(shù)值的三個奇特之處
§3.2 在正整數(shù)處的值
§3.3 在負(fù)整數(shù)處的值
小結(jié)
習(xí)題
第四章代數(shù)數(shù)論
§4.1 代數(shù)數(shù)論的方法
§4.2 代數(shù)數(shù)論的核心
§4.3 虛二次域的類數(shù)公式
§4.4 Fermat大定理與Kummer
小結(jié)
習(xí)題
第五章何謂類域論
§5.1 類域論的現(xiàn)象的例子
§5.2 分圓域與二次域
§5.3 類域論概述
小結(jié)
習(xí)題
第六章局部與整體
§6.1 數(shù)與函數(shù)的驚人類似
§6.2 素點與局部域
§6.3 素點與域擴張
§6.4 阿代爾(adele)環(huán)與伊代爾(idele)群
小結(jié)
習(xí)題
第七章 ζ(Ⅱ)
§7.1 ζ的出現(xiàn)
§7.2 Riemann ζ 與Dirichlet L
§7.3 素數(shù)定理
§7.4 Fp[T]的情形
§7.5 Dedekind ζ與Hecke L
§7.6 素數(shù)定理的一般程式
小結(jié)
習(xí)題
第八章類域論(Ⅱ)
§8.1 類域論的內(nèi)容
§8.2 整體域和局部域上的可除代數(shù)
§8.3 類域論的證明
小結(jié)
習(xí)題
附錄A Dedekind環(huán)匯編
§A.1 dedekind環(huán)的定義
§A.2 分式理想
附錄B Galois理論
§B.1 Galois理論
§B.2 正規(guī)擴張與可分?jǐn)U張
§B.3 范與跡
§B.4 有限域
§B.5 無限GaloiS理論
附錄C 素數(shù)的威力
§C.1 Hensel引理
§C.2 Hasse原理
問題解答
習(xí)題解答
索引