泛函分析學(xué)習(xí)指南

第一章 度量空間
1 壓縮映像原理
基本內(nèi)容
距離空間的定義
距離空間的刻畫
典型例題精解
2 完備化
基本內(nèi)容
典型例題精解
3 列緊集
基本內(nèi)容
典型例題精解
4 線性賦范空間
基本內(nèi)容
線性空間與線性賦范空間
幾個重要的：Banach空間
應(yīng)用（最佳逼近問題）
有窮維B空間的刻畫
商空間
典型例題精解
5 凸集與不動點
基本內(nèi)容
定義與基本性質(zhì)
Brower與Schauder不動點定理
典型例題精解
6 內(nèi)積空間
基本內(nèi)容
典型例題精解
第二章 線性算子與線性泛函
1 線性算子和線性泛函的定義
基本內(nèi)容
線性算子和線性泛函的定義
線性算子的連續(xù)性和有界性
典型例題精解
2 Riesz定理及其應(yīng)用
基本內(nèi)容
典型例題精解
3 綱與開映像定理
基本內(nèi)容
綱與綱推理
開映像定理
閉圖像定理
共鳴定理
應(yīng)用
典型例題精解
4 Hahn-Banach定理
基本內(nèi)容
Hahn-Banach定理
幾何形式——凸集分離定理
應(yīng)用
典型例題精解
5 共軛空間·弱收斂·自反空間
基本內(nèi)容
共軛空間與自然映射
弱列緊性與弱*列緊性
典型例題精解
6 線性算子的譜
基本內(nèi)容
譜的定義與性質(zhì)
Gelfand定理
典型例題精解
第三章 廣義函數(shù)與Sobolev空間
1 廣義函數(shù)的概念
基本內(nèi)容
軟化子（磨光函數(shù)）
基本函數(shù)空間（Ω）
廣義函數(shù)的定義和基本性質(zhì)
廣義函數(shù)的收斂性
典型例題精解
2 B0空間
基本內(nèi)容
典型例題精解
3 廣義函數(shù)的運算
基本內(nèi)容
廣義微商
廣義函數(shù)的乘法
平移算子與反射算子
幾個公式
典型例題精解
4 上的Fourier變換
基本內(nèi)容
Fourier變換的定義
Fourier變換的性質(zhì)
幾個公式
典型例題精解
5 sobolev空間與嵌入定理
基本內(nèi)容
典型例題精解
第四章 緊算子與Fredholm算子
1 緊算子定義和基本性質(zhì)
基本內(nèi)容
典型例題精解
2 Riesz-Fredholm理論
基本內(nèi)容
記號
重要結(jié)論
典型例題精解
3 緊算子的譜理論（Riesz-Schauder理論）
基本內(nèi)容
緊算子的譜
不變子空間
緊算子的結(jié)構(gòu)
典型例題精解
4 Hilbert-Schmidt定理
基本內(nèi)容
典型例題精解
5 對橢圓型方程的應(yīng)用
基本內(nèi)容
對于邊值問題的應(yīng)用
對于特征值問題的應(yīng)用
典型例題精解
6 Fredholm算子
基本內(nèi)容
典型例題精解
符號表