偏微分方程

第1章 緒論
1.1 基本概念
1.1.1 定義與例子
1.1.2 疊加原理

1.2 定解問題
1.2.1 定解條件與定解問題
1.2.2 定解問題的適定性

1.3 二階半線性方程的分類與標準型
1.3.1 多個自變量的方程
1.3.2 個自變量的方程
1.3.3 方程化為標準型
習題1

第2章 一階擬線性方程
2.1 一般理論
2.1.1 特征曲線與積分曲面
2.1.2 初值問題
2.1.3 例題

2.2 傳輸方程
2.2.1 齊次方程的初值問題行波解
2.2.2 非齊次傳輸方程
習題2

第3章 波動方程
3.1 一維波動方程的初值問題
3.1.1 dAlembert公式反射法
3.1.2 依賴區(qū)域決定區(qū)域影響區(qū)域
3.1.3 初值問題的弱解

3.2 一維波動方程的初邊值問題
3.2.1 齊次方程特征線法
3.2.2 齊次方程分離變量法
3.2.3 非齊次方程特征函數(shù)展開法

3.3 StarmLiOUVille特征值問題
3.3.1 特征函數(shù)的性質
3.3.2 特征值與特征函數(shù)的存在性
3.3.3 特征函數(shù)系的完備性

3.4 高維波動方程的初值問題
3.4.1 球面平均法Kirchhoff公式
3.4.2 降維法：Poisson公式
3.4.3 非方程Duhamel原理
3.4.4 Huygens原理波的彌散

3.5 能量法解的唯一性與穩(wěn)定性
3.5.1 能量等式初邊值問題解的唯_性
3.5.2 能量不等式初邊值問題解的穩(wěn)定性
3.5.3 初值問題解的唯一性
習題3

第4章 熱傳導方程
4.1 初值問題
4.1.1Fourier變換及其性質
4.1.2 解初值問題
4.1.3 解的存在性

4.2 最大值原理及其應用
4.2.1 最大值原理
4.2.2 初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性
4.2.3 初值問題解的唯一性與穩(wěn)定性
4.2.4 例題
4.3 強最大值原理
習題4

第5章 位勢方程
5.1 基本解
5.1.1 基本解Green公式
5.1.2 平均值等式
5.1.3 最大最小值原理及其應用

5.2 Green函數(shù)
5.2.1Green函數(shù)的導出及其性質
5.2.2 球上的Green函數(shù)Poisson積分公式.
5.2.3 上半空間上的Green函數(shù)
5.2.4 球上Dirichlet問題解的存在性
5.2.5 能量法

5.3 調和函數(shù)的基本性質
5.3.1 逆平均值性質
5.3.2 Harnack不等式
5.3.3 Liouville定理
5.3.4 奇點可去性定理
5.3.5 正則性
5.3.6 微商的局部估計
5.3.7 解析性
5.3.8 例題

5.4 Hopf最大值原理及其應用
5.4.1Hopf最大值原理
5.4.2 應用

5.5 位勢方程的弱解
5.5.1 伴隨微分算子與伴隨邊值問題
5.5.2 弱微商及其簡單性質
5.5.3Sobolev空間H1(Ω)與H(Ω)
5.5.4 弱解的存在唯一性
習題5

第6章 變分法與邊值問題
6.1 邊值問題與算子方程
6.1.1 薄膜的橫振動與最小位能原理
6.1.2 正算子與算子方程
6.1.3 正定算子弱解存在性

6.2 Laplace算子的特征值問題
6.2.1 特征值與特征函數(shù)的存在性
6.2.2 特征值與特征函數(shù)的性質
習題6

第7章 特征理論偏微分方程組
7.1 方程的特征理論’
7.1.1 弱間斷解與弱間斷面
7.1.2 特征方程與特征曲面

7.2 方程組的特征理論
7.2.1 弱間斷解與特征線
7.2.2 狹義雙曲型方程組的標準型

7.3 雙曲型方程組的Cauchy問題
7.3.1 解的存在性與唯一性
7.3.2 解的穩(wěn)定性

7.4 Cauchy-Kovalevskaja定理
7.4.1 Cauchy—Kovalevskaja型方程組
7.4.2 Cauchy問題的化簡
7.4.3 強函數(shù)
7.4.4 Cauchy-Kovalevskaja定理的證明
習題7

第8章 廣義函數(shù)與基本解
8.1 基本空間
8.1.1 引言
8.1.2 基本空間D(RN)和E(RN)
8.1.3 基本空間I(RN)及其上的Fourier變換

8.2 廣義函數(shù)空間
8.2.1 概念與例子
8.2.2 廣義函數(shù)的收斂性
8.2.3 自變量的交換
8.2.4 廣義函數(shù)的微商與乘子
8.2.5 廣義函數(shù)的支集
8.2.6 廣義函數(shù)的卷積
8.2.7 空間上的Fourier變換

8.3 基本解
8.3.1 基本解的概念
8.3.2 熱傳導方程及其Cauchy問題的基本解
8.3.3 波動方程Cauchy問題的基本解.
8.3.4 調和、重調和及多調和算子的基本解.
習題8
索引