高等數(shù)學專題梳理與解讀

前言
1 極限與連續(xù)
1.1 極限的概念與性質
1.1.1 極限的基本概念
1.1.2 極限的性質與法則
1.1.3 函數(shù)、數(shù)列、子數(shù)列之間的關系
1.2 函數(shù)的連續(xù)性
1.2.1 函數(shù)連續(xù)的概念與性質
1.2.2 函數(shù)間斷的概念
1.2.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質及其應用
1.3 極限存在的準則
1.4 極限的計算
1.4.1 基本型不定式極限的計算
1.4.2 冪指函數(shù)極限的計算
1.4.3 極限中參數(shù)的確定
2 一元函數(shù)導數(shù)的概念與計算
2.1 導數(shù)與微分的概念
2.1.1 一元函數(shù)導數(shù)的定義
2.1.2 一元函數(shù)導數(shù)的基本性質
2.1.3 分段函數(shù)的可導性討論
2.1.4 微分的定義
2.2 一元函數(shù)導數(shù)的計算
2.2.1 基本類型函數(shù)的導數(shù)計算與應用
2.2.2 高階導數(shù)的計算
3 微分中值定理及其應用
3.1 微分中值定理
3.1.1 微分中值定理的分析
3.1.2 泰勒定理與泰勒公式的建立
3.2 微分中值定理的若干應用
3.2.1 函數(shù)與其導數(shù)之間的關系
3.2.2 微分中值定理的中值的若干問題
3.2.3 利用微分中值定理證明不等武
3.2.4 利用洛必達法則求極限
3.2.5 泰勒公式的若干應用
3.3 利用微分中值定理討論方程的實根
4 一元函數(shù)及其性態(tài)分析
4.1 函數(shù)
4.1.1 函數(shù)的概念
4.1.2 函數(shù)的構造
4.2 一元函數(shù)性態(tài)的分析
4.2.1 函數(shù)的單調性與極值
4.2.2 曲線的凹向性
4.2.3 函數(shù)性態(tài)的綜合分析
4.2.4 函數(shù)的最優(yōu)值問題
4.3 函數(shù)性態(tài)分析的應用
4.3.1 結合函數(shù)性態(tài)分析討論方程的實根
4.3.2 利用函數(shù)性態(tài)分析證明不等式
5 一元函數(shù)積分的概念與性質
5.1 一元函數(shù)積分的概念與性質
5.1.1 不定積分與定積分的概念
5.1.2 不定積分與定積分的性質
5.1.3 廣義積分的概念與性質
5.2 變限定積分
5.2.1 變限定積分函數(shù)的概念與性質
5.2.2 變限定積分函數(shù)的性態(tài)分析
5.2.3 含有變限定積分的極限的計算
5.2.4 變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導性
5.2.5 變限定積分的導數(shù)與積分的計算
5.3 定積分的證明
5.3.1 定積分的若干證明
5.3.2 結合定積分性質討論方程的實根
5.3.3 定積分不等式的證明
6 一元函數(shù)積分的計算與應用
6.1 一元函數(shù)積分的計算
6.1.1 不定積分的計算
6.1.2 定積分的計算
6.1.3 分段函數(shù)積分的計算
6.1.4 廣義積分的計算
6.2 定積分的應用
6.2.1 定積分在幾何中的應用
6.2.2 定積分在物理中的應用
7 無窮級數(shù)
7.1 無窮級數(shù)的基本概念與性質
7.1.1 無窮級數(shù)斂散性的定義
7.1.2 無窮級數(shù)的基本性質
7.2 無窮級數(shù)斂散性的判斷
7.2.1 無窮級數(shù)斂散性的判別
7.2.2 利用無窮級數(shù)討論數(shù)列極限的存在性
8 冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)
8.1 冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)
8.1.1 冪級數(shù)收斂域的確定
8.1.2 冪級數(shù)和函數(shù)的求取
8.1.3 數(shù)項級數(shù)和值的求取
8.1.4 冪級數(shù)的和函數(shù)與微分方程
8.2 函數(shù)的冪級數(shù)展開
8.3 函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開
8.3.1 函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)
8.3.2 傅里葉級數(shù)的收斂定理
8.3.3 以2Z為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開
8.3.4 定義在[0，f]上函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開
9 多元函數(shù)微分學
9.1 多元函數(shù)的基本概念與性質
9.1.1 多元函數(shù)
9.1.2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
9.1.3 多元函數(shù)的偏導數(shù)
9.1.4 全微分
9.2 偏導數(shù)與全微分的計算
9.2.1 多元函數(shù)在給定點處的偏導數(shù)與全微分
9.2.2 多元復合函數(shù)的偏導數(shù)
9.2.3 隱函數(shù)的偏導數(shù)
9.2.4 通過變量變換化簡微分方程
9.2.5 偏導數(shù)與微分方程
9.3 多元函數(shù)的優(yōu)化問題
9.3.1 多元函數(shù)的極值問題
9.3.2 多元函數(shù)的最優(yōu)值問題
9.3.3 利用多元函數(shù)最優(yōu)化的方法證明不等式
10 重積分
10.1 二重積分
10.1.1 二重積分的概念與性質
10.1.2 二重積分的計算
10.1.3 二重積分的不等式
10.1.4 廣義二重積分的概念與計算
10.1.5 二重積分的應用
10.2 三重積分
10.2.1 三重積分的概念與性質
10.2.2 三重積分的計算與應用
11 矢量代數(shù)解析幾何場論初步
11.1 矢量代數(shù)
11.2 空間解析幾何
11.2.1 平面與直線
11.2.2 空間曲面及其方程
11.2.3 空間曲線及其方程
11.3 場論初步
12 曲面積分與曲線積分
12.1 第一類曲線積分與曲面積分
12.1.1 第一類曲線積分
12.1.2 第一類曲面積分
12.2 第二類曲面積分
12.2.1 第二類曲面積分的概念與性質
12.2.2 第二類曲面積分的計算
12.3 第二類曲線積分
12.3.1 第二類曲線積分的概念與性質
12.3.2 第二類曲線積分的計算
12.3.3 平面曲線積分與路徑無關
13 常微分方程
13.1 常微分方程的基本概念及其解的性質
13.1.1 常微分方程的基本概念
13.1.2 線性微分方程解的性質與解的結構理論
13.2 一階微分方程
13.2.1 一階線性微分方程
13.2.2 一階非線性微分方程
13.2.3 一階微分方程的應用
13.3 高階微分方程
13.3.1 常系數(shù)線性微分方程
13.3.2 變系數(shù)線性微分方程
13.3.3 非線性微分方程
14 經(jīng)濟學中的若干數(shù)學問題
14.1 微積分在經(jīng)濟學中的應用
14.1.1 極限在經(jīng)濟問題中的應用
14.1.2 導數(shù)在經(jīng)濟問題中的應用
14.1.3 積分在經(jīng)濟問題中的應用
14.1.4 最優(yōu)化原則在經(jīng)濟問題中的應用
14.2 差分方程
14.2.1 差分與差分方程的基本概念
14.2.2 一階常系數(shù)線性差分方程的求解
附錄A 數(shù)學思想與創(chuàng)新思維選讀
A1 特殊與一般
A1.1 特殊與一般
A1.2 兩種常用的化歸思維方法
A1.3 關系映射反演方法
A1.4 函數(shù)構造
A2 分解與組合
A2.1 分解
A2.2 組合
A3 聯(lián)想、類比、歸納與演繹
A3.1 聯(lián)想與類比
A3.2 歸納與演繹
A4 思維
A4.1 思維
A4.2 同向思維與逆向思維
A4.3 對偶結構思維
A4.4 非邏輯思維
A5 抽象
A5.1 抽象與數(shù)學抽象
A5.2 弱抽象與強抽象
A6 數(shù)學中的美學
A6.1 美學
A6.2 數(shù)學美
A6.3 數(shù)學美的內容
A6.4 數(shù)學美的特征