離散數(shù)學(xué)

第1章命題邏輯1
1.1現(xiàn)代邏輯學(xué)的基本研究方法1
1.1.1思維： 感知的概念化和理性化1
1.1.2現(xiàn)代邏輯學(xué)求助數(shù)學(xué)——符號(hào)化2
1.1.3現(xiàn)代邏輯學(xué)追隨數(shù)學(xué)——公理化2
1.1.4現(xiàn)代邏輯學(xué)改造數(shù)學(xué)——形式化3
1.2命題及其表示法4
1.2.1命題的概念4
1.2.2復(fù)合命題4
1.2.3聯(lián)結(jié)詞5
1.2.4復(fù)合命題真假值7
1.3命題公式與翻譯9
1.3.1命題公式的定義9
1.3.2公式的層次10
1.3.3翻譯10
1.4真值表與等價(jià)公式11
1.4.1真值表11
1.4.2等價(jià)公式12
1.5重言式與等值演算12
1.5.1重言式12
1.5.2等值演算14
1.6對(duì)偶與范式16
1.6.1對(duì)偶16
1.6.2簡(jiǎn)單合取式和簡(jiǎn)單析取式17
1.6.3范式18
1.6.4范式的唯一性——主范式20
1.7其他聯(lián)結(jié)詞25
1.7.1n元真值函數(shù)26
1.7.2真值函數(shù)與命題公式的關(guān)系26
1.7.3聯(lián)結(jié)詞完備集27
1.7.4單元素聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的聯(lián)結(jié)詞完備集28
1.8推理理論29
1.8.1有效推理29
1.8.2有效推理的等價(jià)定理30
1.8.3重言蘊(yùn)涵式32
1.8.4形式推理系統(tǒng)P134
1.8.5自然推理系統(tǒng)P235
習(xí)題41
第2章謂詞邏輯51
2.1謂詞邏輯的基本概念51
2.1.1個(gè)體詞52
2.1.2謂詞52
2.1.3量詞53
2.2謂詞邏輯公式與翻譯54
2.2.1一階語(yǔ)言54
2.2.2自由與約束55
2.2.3閉公式56
2.2.4謂詞邏輯公式的解釋57
2.2.5謂詞邏輯命題符號(hào)化58
2.2.6謂詞邏輯公式的分類(lèi)61
2.3謂詞邏輯等值演算62
2.3.1基本等價(jià)式與置換規(guī)則62
2.3.2謂詞邏輯前束范式66
2.4謂詞演算的推理理論68
2.4.1推理定律68
2.4.2量詞消去與引入規(guī)則69
2.4.3一階謂詞演算公理系統(tǒng)F169
2.4.4自然推理系統(tǒng)F271
2.5邏輯在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的作用73
2.5.1邏輯與計(jì)算73
2.5.2邏輯與計(jì)算機(jī)的起源74
2.5.3邏輯與程序設(shè)計(jì)75
習(xí)題76離散數(shù)學(xué)目錄
第3章集合與關(guān)系82
3.1集合的概念和表示法82
3.1.1集合的表示82
3.1.2集合的基本概念84
3.2集合的運(yùn)算85
3.2.1集合的基本運(yùn)算85
3.2.2有窮計(jì)數(shù)集86
3.2.3廣義交和廣義并87
3.3有序?qū)εc笛卡兒積89
3.4關(guān)系及其表示91
3.4.1關(guān)系的基本概念91
3.4.2關(guān)系表示法92
3.5關(guān)系的運(yùn)算94
3.5.1基本概念94
3.5.2復(fù)合關(guān)系95
3.5.3逆關(guān)系96
3.5.4關(guān)系冪98
3.5.5冪運(yùn)算的性質(zhì)99
3.6關(guān)系的性質(zhì)101
3.6.1關(guān)系的五種基本性質(zhì)101
3.6.2關(guān)系性質(zhì)的等價(jià)描述102
3.7關(guān)系的閉包106
3.7.1閉包的基本概念106
3.7.2閉包的性質(zhì)110
3.8集合的劃分與覆蓋111
3.9等價(jià)關(guān)系和等價(jià)類(lèi)112
3.9.1等價(jià)關(guān)系112
3.9.2等價(jià)類(lèi)的性質(zhì)114
3.9.3商集與劃分115
3.10偏序關(guān)系116
3.11偏序集與哈斯圖117
3.12包含排斥原理120
習(xí)題121
第4章函數(shù)128
4.1函數(shù)的定義128
4.1.1函數(shù)和像128
4.1.2函數(shù)的性質(zhì)130
4.1.3常用函數(shù)131
4.2復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)132
4.2.1復(fù)合函數(shù)132
4.2.2反函數(shù)134
4.3特征函數(shù)與模糊子集136
4.3.1特征函數(shù)136
4.3.2模糊集合137
4.4基數(shù)的概念138
4.4.1后繼與歸納集138
4.4.2自然數(shù)，有窮集，無(wú)窮集139
4.4.3基數(shù)144
4.5可數(shù)集與不可數(shù)集144
4.6數(shù)學(xué)歸納法146
4.6.1歸納法證明146
4.6.2數(shù)學(xué)歸納法第一原理146
4.6.3數(shù)學(xué)歸納法第二原理147
習(xí)題149
第5章圖論153
5.1圖的基本概念153
5.1.1圖的定義和表示153
5.1.2圖的同構(gòu)157
5.1.3完全圖與正則圖159
5.1.4子圖與補(bǔ)圖159
5.1.5通路與回路161
5.2圖的連通性163
5.2.1無(wú)向圖的連通性163
5.2.2有向圖的連通性165
5.3圖的矩陣表示165
5.3.1關(guān)聯(lián)矩陣165
5.3.2有向圖的鄰接矩陣166
5.3.3有向圖的可達(dá)矩陣168
5.4二部圖168
5.4.1二部圖及判別定理168
5.4.2完備匹配169
5.5歐拉圖171
5.6哈密頓圖174
5.7平面圖177
5.7.1平面圖及其判定定理177
5.7.2平面圖的對(duì)偶圖183
5.8帶權(quán)圖184
習(xí)題185
第6章樹(shù)及其應(yīng)用193
6.1樹(shù)的術(shù)語(yǔ)和性質(zhì)193
6.1.1樹(shù)的定義及相關(guān)術(shù)語(yǔ)193
6.1.2樹(shù)的性質(zhì)195
6.2生成樹(shù)196
6.3最小生成樹(shù)199
6.4樹(shù)的遍歷202
6.5二叉樹(shù)204
6.5.1二叉樹(shù)的性質(zhì)204
6.5.2二叉搜索樹(shù)205
6.5.3赫夫曼樹(shù)206
6.6決策樹(shù)207
6.6.1決策樹(shù)的定義207
6.6.2最短時(shí)間排序209
6.7樹(shù)的同構(gòu)209
6.8博弈樹(shù)213
6.8.1博弈樹(shù)的概念213
6.8.2極大極小分析法213
6.8.3αβ剪枝技術(shù)216
習(xí)題218
第7章計(jì)數(shù)方法與鴿巢原理222
7.1基本原理222
7.1.1加法原理222
7.1.2乘法原理223
7.2排列與組合224
7.2.1排列224
7.2.2組合224
7.3排列組合生成算法225
7.3.1排列生成算法225
7.3.2組合生成算法226
7.4離散概率論229
7.4.1離散概率簡(jiǎn)介229
7.4.2有限概率230
7.4.3條件概率與獨(dú)立性232
7.4.4Bayes定理233
7.5廣義的排列和組合234
7.6二項(xiàng)式系數(shù)和組合恒等式236
7.6.1二項(xiàng)式定理236
7.6.2組合恒等式238
7.7鴿巢原理239
7.7.1鴿巢原理的簡(jiǎn)單形式239
7.7.2鴿巢原理的一般形式240
習(xí)題241
第8章數(shù)論與遞歸關(guān)系243
8.1素?cái)?shù)243
8.2最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)244
8.3同余247
8.4一次同余方程和中國(guó)剩余定理249
8.4.1一次同余方程249
8.4.2中國(guó)剩余定理250
8.5數(shù)論在密碼學(xué)中的應(yīng)用251
8.5.1公鑰密碼學(xué)251
8.5.2RSA密碼252
8.6遞歸關(guān)系簡(jiǎn)介252
8.6.1遞歸定義函數(shù)252
8.6.2遞歸定義集合254
8.6.3遞推關(guān)系模型255
8.7求解遞歸關(guān)系257
8.8遞歸在算法分析中的應(yīng)用259
習(xí)題262
第9章代數(shù)系統(tǒng)264
9.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)264
9.1.1定義和表示264
9.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)266
9.2代數(shù)系統(tǒng)268
9.2.1定義和實(shí)例268
9.2.2子代數(shù)系統(tǒng)270
9.2.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)270
9.3半群與獨(dú)異點(diǎn)271
9.3.1定義與性質(zhì)271
9.3.2子系統(tǒng)與直積272
9.4群273
9.4.1群的定義273
9.4.2群的性質(zhì)275
9.4.3子群的定義277
9.4.4正規(guī)子群與商群278
9.4.5群的同態(tài)與同構(gòu)實(shí)例281
9.4.6循環(huán)群與置換群284
9.5環(huán)與域286
9.5.1環(huán)286
9.5.2域287
9.6格與布爾代數(shù)288
9.6.1格288
9.6.2布爾代數(shù)292
9.7組合電路295
習(xí)題297
第10章自動(dòng)機(jī)、文法和語(yǔ)言305
10.1串和語(yǔ)言305
10.2形式文法306
10.3有限狀態(tài)機(jī)309
10.4有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)311
10.5不確定有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)314
10.6語(yǔ)言和自動(dòng)機(jī)之間的關(guān)系317
習(xí)題318
附錄A歷史注記322
參考文獻(xiàn)332