離散數(shù)學(xué)

第1篇    集合論
第1章  集合
  1.1  集合的概念與表示法
           1.1.1  集合的概念
           1.1.2  特殊集合    
           1.1.3  集合的表示法
  習(xí)題1.1
  1.2  集合之間的關(guān)系
           1.2.1  包含關(guān)系與子集
           1.2.2  相等關(guān)系  
           1.2.3  真包含與真子集
           1.2.4  冪集    
           1.2.5  集族與總族
           1.2.6  一種輔助分析集合與集合元素之間關(guān)系的有效方法          
  習(xí)題1.2
  1.3  集合的運(yùn)算
           1.3.1  基本運(yùn)算
           1.3.2  文氏圖    
           1.3.3  運(yùn)算性質(zhì)      
           1.3.4  對(duì)運(yùn)算定律的否定的證明方法    
  習(xí)題1.3
  1.4  笛卡兒積
           1.4.1  序?qū)?br />           1.4.2  笛卡兒積(叉積)
           1.4.3  運(yùn)算性質(zhì)
  習(xí)題1.4
  1.5  有限集合的基數(shù)
  習(xí)題1.5
    1.6  數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)
           1.6.1  歸納定義  
           1.6.2  自然數(shù)      
           1.6.3  歸納證明  
  習(xí)題1.6
    1.7  語言上的運(yùn)算
           1.7.1  串及其運(yùn)算
           1.7.2  語言及其運(yùn)算
           1.7.3  語言的閉包及其性質(zhì)
  習(xí)題1.7  
第2章  關(guān)系
  2.1  二元關(guān)系
           2.1.1     關(guān)系的概念
           2.1.2     關(guān)系的特例
           2.1.3     關(guān)系的域    
           2.1.4     關(guān)系矩陣與關(guān)系圖
  習(xí)題2.1
  2.2  具有特殊性質(zhì)的關(guān)系
           2.2.1     自反性    
           2.2.2     反自反性
           2.2.3     對(duì)稱性    
           2.2.4     反對(duì)稱性
           2.2.5     傳遞性    
  習(xí)題2.2
  2.3  復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系
           2.3.1     復(fù)合關(guān)系
           2.3.2     復(fù)合運(yùn)算的矩陣實(shí)現(xiàn)及圖解
           2.3.3     復(fù)合冪運(yùn)算的圖解          
           2.3.4     逆關(guān)系        
           2.3.5     復(fù)合運(yùn)算和逆運(yùn)算與集合運(yùn)算的關(guān)系
  習(xí)題2.3
  2.4  關(guān)系的閉包運(yùn)算
           2.4.1     閉包的概念
           2.4.2     閉包的性質(zhì)
           2.4.3     閉包的復(fù)合
  習(xí)題2.4
  2.5  等價(jià)關(guān)系與集合的劃分
           2.5.1     等價(jià)關(guān)系    
           2.5.2     集合的劃分
           2.5.3     等價(jià)關(guān)系與集合劃分的聯(lián)系
  習(xí)題2.5
  2.6  相容關(guān)系與覆蓋
           2.6.1     覆蓋
           2.6.2     相容關(guān)系
           2.6.3     極大相容類的求法
           2.6.4     相容關(guān)系與覆蓋之間的聯(lián)系
  習(xí)題2.6
  2.7  序關(guān)系
           2.7.1     擬序關(guān)系(半序、準(zhǔn)序)        
           2.7.2     偏序關(guān)系(部分序)        
           2.7.3     哈斯圖        
           2.7.4     元素的大小與子集的界
           2.7.5     全序與良序        
  習(xí)題2.7  
第3章     映射
  3.1     映射的基本概念
           3.1.1     映射的概念
           3.1.2     單射、滿射和雙射
           3.1.3     兩映射相等        
           3.1.4     規(guī)范映射          
           3.1.5     f誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系
           3.1.6     二元運(yùn)算        
  習(xí)題3.1    
  3.2     映射的復(fù)合和逆
           3.2.1  映射的復(fù)合
           3.2.2     逆映射    
  習(xí)題3.2    
    3.3     歸納定義映射
  習(xí)題3.3    
  3.4     變換和置換
           3.4.1     基本概念
           3.4.2     置換的性質(zhì)
           3.4.3     輪換(循環(huán)置換)
           3.4.4     輪換的性質(zhì)      
  習(xí)題3.4    
    3.5     特征函數(shù)與模糊子集
           3.5.1     集合的特征函數(shù)
           3.5.2     模糊子集        
  習(xí)題3.5    
第4章     無限集合及其勢
  4.1     無限集合及其勢簡介
           4.1.1     有限集與無限集
           4.1.2     勢與等勢        
  習(xí)題4.1    
  4.2  可數(shù)集
  習(xí)題4.2
  4.3     勢比較與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
           4.3.1     不可數(shù)集的存在及連續(xù)統(tǒng)
           4.3.2     勢比較        
           4.3.3     勢的無限性和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
  習(xí)題4.3
  4.4  勢算術(shù)
  習(xí)題4.4
第2篇  近 世 代 數(shù)
第5章  代數(shù)系統(tǒng)
  5.1     運(yùn)算及運(yùn)算律
           5.1.1     運(yùn)算
           5.1.2     運(yùn)算律
           5.1.3  特殊元素
           5.1.4     特殊元素的性質(zhì)
  習(xí)題5.1    
  5.2     代數(shù)系統(tǒng)
           5.2.1     代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu))
           5.2.2     子代數(shù)系統(tǒng)        
  習(xí)題5.2  
  5.3     同態(tài)與同構(gòu)
           5.3.1     同類型的代數(shù)系統(tǒng)
           5.3.2     同態(tài)與同構(gòu)的概念
           5.3.3     同態(tài)性質(zhì)        
  習(xí)題5.3    
  5.4     同余關(guān)系
  習(xí)題5.4
  5.5     商代數(shù)與積代數(shù)
  習(xí)題5.5
  5.6     自然同態(tài)與同態(tài)三角形
  習(xí)題5.6
第6章     半群、獨(dú)異點(diǎn)和群
  6.1     半群
           6.1.1     半群
           6.1.2     子半群
           6.1.3     循環(huán)半群
           6.1.4     半群同態(tài)
  習(xí)題6.1
  6.2  獨(dú)異點(diǎn)
           6.2.1  獨(dú)異點(diǎn)
           6.2.2     子獨(dú)異點(diǎn)
           6.2.3     循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)
           6.2.4     獨(dú)異點(diǎn)同態(tài)
  習(xí)題6.2
  6.3     群
           6.3.1     群的概念
           6.3.2     群的性質(zhì)
           6.3.3     群的階及元素的階
           6.3.4     低階實(shí)際群        
  習(xí)題6.3    
  6.4  子群
  習(xí)題6.4
  6.5     變換群、置換群和循環(huán)群
           6.5.1     變換群        
           6.5.2     置換群        
           6.5.3     循環(huán)群        
  習(xí)題6.5
  6.6     群同態(tài)與同構(gòu)
           6.6.1     群同態(tài)
           6.6.2     群同構(gòu)
           6.6.3     同態(tài)核
  習(xí)題6.6
  6.7     陪集及拉格朗日定理
  習(xí)題6.7
  6.8     正規(guī)子群及群同態(tài)三角形
           6.8.1     正規(guī)子群          
           6.8.2     商群          
           6.8.3     群同態(tài)三角形
  習(xí)題6.8    
第7章  環(huán)、體、域環(huán)
         7.1.1  環(huán)的基本概念          
         7.1.2  環(huán)的性質(zhì)      
          7.1.3  子環(huán)          
  習(xí)題7.1        7.2  環(huán)同態(tài)、理想和商環(huán)  
           7.2.1  環(huán)同態(tài)        
           7.2.2  同余關(guān)系與理想          
           7.2.3  商環(huán)      
           7.2.4     環(huán)同態(tài)三角形          
        習(xí)題7.2            
        7.3  體和域            
           7.3.1  體和域的概念        
           7.3.2  體和域的簡單性質(zhì)          
           7.3.3  商體和商域        
        習(xí)題7.3            
第8章  格與布爾代數(shù)
        8.1  格
           8.1.1  格的概念        
           8.1.2  格的基本性質(zhì)        
           8.1.3  低階實(shí)際格          
           8.1.4  格——代數(shù)系統(tǒng)        
        習(xí)題8.1            
        8.2  特殊格          
           8.2.1  有界格        
           8.2.2  有補(bǔ)格        
           8.2.3  分配格        
        習(xí)題8.2            
        8.3  布爾代數(shù)            
           8.3.1  布爾代數(shù)的概念及基本性質(zhì)        
           8.3.2  子布爾代數(shù)          
           8.3.3  布爾環(huán)        
        習(xí)題8.3          
        8.4  布爾同態(tài)          
           8.4.1  布爾同態(tài)的概念及簡單性質(zhì)      
           8.4.2  布爾代數(shù)表示定理          
        習(xí)題8.4            
        8.5  布爾表達(dá)式與布爾函數(shù)            
           8.5.1  布爾表達(dá)式的基本概念        
           8.5.2  布爾表達(dá)式的范式及分類        
           8.5.3  布爾函數(shù)        
           8.5.4  如何求范式    
    
第3篇  圖    論
第9章  圖論
  9.1  基本概念            
  習(xí)題9.1            
  9.2  子圖與同構(gòu)          
  習(xí)題9.2          
  9.3  路與回路            
  習(xí)題9.3        
  9.4  可達(dá)與連通            
  習(xí)題9.4          
  9.5  圖的矩陣表示            
  習(xí)題9.5            
  9.6  歐拉圖與漢密爾頓圖          
  習(xí)題9.6            
  9.7  二分圖與匹配            
  習(xí)題9.7            
  9.8  平面圖          
  習(xí)題9.8          
  9.9  對(duì)偶圖與著色            
  習(xí)題9.9          
  9.10  無向樹            
  習(xí)題9.10            
  9.11  有向樹            
  習(xí)題9.11            
第4篇  數(shù) 理 邏 輯
  
第10章  命題邏輯
  10.1  命題及聯(lián)結(jié)詞            
           10.1.1     命題        
           10.1.2     聯(lián)結(jié)詞        
  習(xí)題10.1             184    
  10.2  命題公式與恒等公式            
           10.2.1     命題公式        
           10.2.2     恒等公式          
  習(xí)題10.2            
  10.3  聯(lián)結(jié)詞的擴(kuò)充與歸約            
           10.3.1  聯(lián)結(jié)詞的擴(kuò)充      
           10.3.2     聯(lián)結(jié)詞的歸約        
  習(xí)題10.3          
  10.4  永真式與蘊(yùn)含式            
           10.4.1     永真式及其性質(zhì)        
           10.4.2     恒等式的性質(zhì)      
           10.4.3     蘊(yùn)含式        
  習(xí)題10.4            
  10.5  代入與置換、對(duì)偶            
           10.5.1     代入規(guī)則          
           10.5.2  置換規(guī)則        
           10.5.3     用代入和置換規(guī)則證明的實(shí)例      
           10.5.4     對(duì)偶原理      
  習(xí)題10.5          
  10.6  范
           10.6.1     范式的概念    
           10.6.2     范式的性質(zhì)    
           10.6.3     如何求主范式
  習(xí)題10.6
  10.7  推理規(guī)則及證明方法
           10.7.1  推理理論          
           10.7.2     證明方法          
           10.7.3     演繹證明原理          
           10.7.4     演繹證明的具體方法  
  習(xí)題10.7
第11章  謂詞邏輯
  11.1  謂詞與量詞
           11.1.1     謂詞          
           11.1.2     量詞          
           11.1.3     個(gè)體域  
           11.1.4     如何將一個(gè)具體命題符號(hào)化
  習(xí)題11.1
  11.2  謂詞公式及變元的約束
           11.2.1     謂詞公式
           11.2.2  變元的約束
  習(xí)題11.2
  11.3  謂詞演算的恒等式、永真式和蘊(yùn)含式
           11.3.1     謂詞演算的恒等式            
           11.3.2     謂詞演算的永真式及蘊(yùn)含式
           11.3.3     實(shí)例
  習(xí)題11.3
    11.4  謂詞邏輯的代入與置換規(guī)則
           11.4.1     代入規(guī)則      
           11.4.2     置換規(guī)則      
           11.4.3     對(duì)偶原理      
  11.5  前束范式和Skolem范式
           11.5.1     前束范式          
           11.5.2     Skolem范式          
  習(xí)題11.5
  11.6  謂詞邏輯的推理規(guī)則        
           11.6.1     術(shù)語“A(x)對(duì)y是自由的”的意義        
           11.6.2     謂詞邏輯中的推理規(guī)則        
           11.6.3     實(shí)例      
  習(xí)題11.6
附錄A     “離散數(shù)學(xué)”在其他課程中的應(yīng)用列表
參考文獻(xiàn)