數(shù)學(xué)物理方程及其近似方法

第一章數(shù)學(xué)物理方程的基本問題
1.1數(shù)學(xué)物理方程的分類及一般性問題
1.1.1基本概念：古典解和廣義解
1.1.2兩個自變量二階線性方程的分類和化簡
1.1.3多個自變量線性方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)型
1.1.4數(shù)學(xué)物理方程的一般性問題
1.2波動方程與Cauchy問題的適定性
1.2.1波動方程的Cauchy問題
1.2.2非齊次波動方程和推遲勢
1.2.3能量不等式和Cauchy問題的適定性
1.2.4混合問題解的惟一性和穩(wěn)定性
1.3Laplace方程與Helmholtz方程
1.3.1二個自變量的Laplace方程
1.3.2調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)
1.3.3邊值問題的適定性
1.3.4Helmholtz方程與輻射問題
1.4熱傳導(dǎo)方程與定解問題的適定性
1.4.1熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題
1.4.2一維熱傳導(dǎo)方程的混合問題
1.4.3混合問題的適定性
1.4.4三類典型方程定解問題提法比較
習(xí)題一
第二章本征值問題和分離變數(shù)法
2.1Hilbert空間及完備的正交函數(shù)集
2.1.1Hilbert空間和函數(shù)空間L2[a,b)
2.1.2完備的正交歸一函數(shù)集
2.1.3有限區(qū)間上的完備系：Legendre多項(xiàng)式
2.1.4單位球面上的完備系：球諧函數(shù)
2.2本征值問題和Sturm-Liouville系統(tǒng)
2.2.1Hermite算子及本征值問題
2.2.2Sturm-liouville系統(tǒng)
2.2.3Sturm-Liouville多項(xiàng)式系統(tǒng)
2.2.4Hermite多項(xiàng)式與Laguerre多項(xiàng)式
2.3有界區(qū)域內(nèi)定解問題的分離變數(shù)法
2.2.1波動方程的齊次混合問題
2.3.2熱傳導(dǎo)方程的齊次混合問題
2.3.3橢圓方程的邊值問題
2.3.4非齊次問題的本征函數(shù)展開
2.4正交曲線坐標(biāo)系小本征值問題的分離變數(shù)
2.4.1球坐標(biāo)系中的本征方程
2.4.2柱坐標(biāo)系中的本征方程
2.4.3橢圓-雙曲柱坐標(biāo)
2.4.4柱函數(shù)：Bessel函數(shù)的幾種不同形式
2.5無窮區(qū)域混合問題的分離變數(shù)法
2.5.1波動方程的Cauchy問題
2.5.2Laplace方程的邊值問題
2.5.3二維軸對稱波動力方程
2.14應(yīng)用于平板的光熱激發(fā)
習(xí)題二
第三章Creen函數(shù)方法
3.1廣義函數(shù)及函數(shù)
3.1.1廣義函數(shù)概念和運(yùn)算法則
3.1.2廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
3.1.3廣義函數(shù)的Fourier變換
3.1.4弱收斂和廣義解
3.2二階常微分方程的Green函數(shù)
3.2.1Gauchy問題的Green函數(shù)
3.2.2邊值問題的Green函數(shù)
3.2.3非齊次Sturm-Liouville邊值問題
3.2.4廣義Green函數(shù)
3.3高維邊值問題的Green函數(shù)
3.3.1非齊次問題的積分公式
2.3.1Helmholtz方程的Green函數(shù)
3.3.3無界空間的Green函數(shù)和基本解
3.3.4鏡像法求邊值問題的Green函數(shù)
3.4混合問題的含時Green函數(shù)
3.4.1熱導(dǎo)方程的Green函數(shù)
3.4.2波動方程的Green函數(shù)
3.4.3Cauchy問題的基本解
3.4.4混合問題Green函數(shù)的鏡像法
3.5廣義Green公式及非齊次問題的積分解
3.5.1共軛算子及廣義Green公式
3.5.2橢圓型方程的Green函數(shù)
3.5.3拋物型方程的Green函數(shù)
3.5.4雙曲型方程的Green函數(shù)
習(xí)題三
第四章變分近似方法
4.1變分法的基本問題
4.1.1泛函和泛函極值的基本概念
4.1.2多個變量的變分問題
4.1.3變端點(diǎn)問題和自然邊界條件
4.1.4泛函的條件極值問題
4.1.5Hamilton原理與最小位能原理
4.2變分法在本征值問題中的應(yīng)用
4.2.1Hermite算子本征值問題與泛函極值問題的等價
4.2.2完備性定理的證明
4.2.3極值定理
4.2.4Ritz和Galerkin法解本征值問題
4.3變分法在邊值問題中的應(yīng)用
4.3.1邊值問題與泛函極值問題的等價
4.3.2變分解的存在性與廣義解
4.3.3Ritz法解邊值問題
4.3.4Galerkin法及非齊次邊值問題
4.4變分的其他近似方法
4.4.1Kantorovich法
4.4.2最速下降法與有界正定算子
4.4.3最小平方法及Courant法
4.4.4共軛梯度法
習(xí)題四
第五章積分方程基本理論
5.1積分方程的形成及分類
5.1.1Volterra積分方程的形成
5.1.2Fredholm積分方程的形成
5.1.3Abel方程及第一類積分方程的適定性
5.1.4非線性積分方程的形成
5.2積分方程的迭代法和有限秩近似
5.2.I第二類Fredholm方程的迭代法
5.2.2Banach空間第二類Fredholm方程的迭代技術(shù)
5.2.3可分核方程和有限秩核近似
5.2.4非線性積分方程的迭代法
5.3L2[a,b)空間中的積分方程
5.3.1Hermite對稱的平方可積核
5.3.2第二類Fredholm積分方程及微擾論
5.3.3平方可積Hermite對稱核的極值性質(zhì)
5.3.4本征值問題的有限秩近似
5.3.5一般平方可積核
5.4積分變換及應(yīng)用于解積分方程
5.4.1Fourier變換及逆變換
5.4.2Laplace變換及逆變換
5.4.3Hankel變換及逆變換
5.4.4Hilbert變換及逆變換
習(xí)題五
第六章微擾理論
6.1本征值問題的微擾
6.1.1算子本身的微擾
6.I.2簡并態(tài)的微擾
6.1.3邊界條件的微擾
6.1.4區(qū)域微擾
6.2正則微擾
6.2.1一致有效展開
6.2.2非一致有效展開和參數(shù)變形法
6.2.3參數(shù)變形法應(yīng)用于非線性振動和波動
6.2.4多尺度展開法
6.3奇異微擾及邊界層理論
6.3.1邊界層理論的基本思想
6.3.2二階線性方程的邊值問題
6.3.3非線性微擾引起的邊界層
6.3.4高維邊值問題的邊界層
6.4WKB近似和應(yīng)用
6.4.1WKB近似
6.4.2Liouville-Green變換
6.4.3具有轉(zhuǎn)折點(diǎn)的本征值問題
6.4.4WKB近似的應(yīng)用
習(xí)題六
第七章數(shù)學(xué)物理方程的逆問題
7.1逆問題基本概念和分類
7.1.1逆問題基本概念
7.1.2方程逆問題分類
7.1.3不適定問題的正則化方法
7.1.4第一類Fredholm積分方程的正則化方法
7.2脈沖譜技術(shù)(PST)
7.2.1PST的基本原理
7.2.2光熱測量中熱導(dǎo)系數(shù)的反演
7.2.3應(yīng)用于二維波動方程的逆問題
7.2.4應(yīng)用于環(huán)境污染控制的逆源問題
7.3本征值逆問題
7.3.1本征值的漸近特征
7.3.2本征值逆問題的惟一性
7.3.3熱導(dǎo)方程系數(shù)逆問題的惟一性
7.3.4數(shù)值方法
7.4波動方程的逆散射
7.4.1波的散射和遠(yuǎn)場特性
7.4.2邊界反演的Kirchhoff近似
7.4.3非均勻介質(zhì)反演的Born和Rytov近似
7.4.4二維近場逆散射成像理論
習(xí)題七
第八章非線性數(shù)學(xué)物理方程
8.1典型非線性方程及其行波解
8.1.1Burgers方程及沖擊波
8.1.2KdV方程及孤立波
8.1.3非線性Nein-Gordon方程
8.1.4非線性Schrodinger方程
8.2Hopf-Cole變換和Hirota方法
8.2.1Burgers方程的Hopf-Cole變換
8.2.2KdV方程的廣義Hopf-Cole變換
8.2.3KdV-Burgers方程的廣義Hopf-Cole變換
8.2.4Hirota方法
8.3逆散射方法
8.3.1一維Schrodinger方程的逆散射問題
8.3.2解KdV方程初值問題的基本思想
8.3.3KdV方程初值問題的孤立子解
8.3.4Lax理論
8.4Backlund變換
8.4.1Backlund變換的基本思想
8.4.2Sine-Gordon方程的自Backlund變換
8.4.3KdV方程的自Backlund變換
8.4.4非線性疊加公式
習(xí)題八
人名英漢對照表
參考書目