微積分簡明教程

前言
第一章實數(shù)及其上的映射
§1無理數(shù)與微積分危機
1.自然數(shù)與有理數(shù)
2.無理數(shù)和微積分的危機
§2一維連續(xù)統(tǒng)--實數(shù)
1.數(shù)的連續(xù)性
2.實數(shù)集的界與確界
3.連通實數(shù)集合的規(guī)范表示
§3實數(shù)集上的映射
1.映射
2.單元函數(shù)--實數(shù)到實數(shù)的映射
3.用四則運算和映射積構造新函數(shù)
4.反函數(shù)
5.函數(shù)的圖象
6.基元函數(shù)和初等函數(shù)
7.隱式方程.參數(shù)和極坐標表示的函數(shù)
練習題1
第二章極限
§1離散變量的極限
1.以正整數(shù)為定義域的函數(shù)--序列
2.無窮小量
3.序列的極限
4.無窮大量
5.夾逼收斂
6.單調有界序列的收斂性
7.超越數(shù)e
8.n!與Euler常數(shù)C
9.重要序列極限例舉
10.無窮小與無窮大的比較與級
11.子序列與上.下極限
練習題2,1
§2連續(xù)變量的極限
1.實數(shù)上的函數(shù)極限
*2.連續(xù)變量極限的離散描述
3.函數(shù)極限的運算法則和收斂判定準則
4.幾類基本的函數(shù)極限
練習題2.2
§3函數(shù)的連續(xù)與間斷
1.函數(shù)的連續(xù)與間斷
2.初等函數(shù)的連續(xù)性
3.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)
練習題2.3
第三章微分法
§1變化率及其計算
1.導數(shù)
2.初等函數(shù)的求導法
3.由參變量或由二元方程表示的隱函數(shù)的求導
4.高階導數(shù)
5.微分--函數(shù)局部平直化
練習題3.1
§2微分學基本定理及應用
1.微分學基本定理
2.不定型極限
3.函數(shù)的多項式局部擬合--泰勒公式
4.函數(shù)的幾何形態(tài)分析
(A)曲線的極值與升降
(B)曲線的拐點與凹凸
(C)曲線的漸近性態(tài)
(D)曲線彎曲度的定量描述--曲率
練習題3.2
第四章積分法
§1積分的定義和性質
1.非勻變過程和非規(guī)則形體的計算
2.定積分的定義和性質
*§2函數(shù)的可積性
1.可積性基本定理
2.函數(shù)的可積性
練習題4.1
§3牛頓一萊布尼茨公式
§4原函數(shù)的尋求
1.不定積分的基本公式與運算法則
2.換元積分法
3.分部積分法
4.有理函數(shù)的積分法
*5.若干類無理函數(shù)的積分法
練習題4.2
§5定積分的計算與應用
1.定積分的換元與分部積分公式
2.積分微元
3.面積.弧長.體積
4.質心.轉動慣量和功
練習題4.3
§6數(shù)值積分
1.矩形公式和梯形公式
2.辛普森(Simpson,T.)公式
*3.龍貝格(Romberg,W.)外推公式
*§7廣義積分
1.無窮積分
2.瑕積分
練習題4.4
第五章動力機制的數(shù)學模型--微分方程
§1物理過程的定量描述
1.質點的彈性振動
2.RLC交變電路
3.冷卻與衰變
4.人口增長
5.溶液淡化
6.二體運動(行星繞日運動)
練習題5.1
§2微分方程的基本概念