應(yīng)用近世代數(shù)

　　內(nèi)容提要近世代數(shù)（又名抽象代數(shù)）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在計算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、近代物理與近代化學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用，是從事現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)人員所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本書介紹群、環(huán)、域的基本理論與應(yīng)用。適用于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、無線電、物理、化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等專業(yè)的學(xué)生、研究生以及專業(yè)人員。片斷：歷史上，有幾個幾何作圖問題曾經(jīng)困擾人們很長時間，它們是：（1）二倍立方體問題作一個立方體使其體積為一已知立方體體積的兩倍。（2）三等分任意角問題給定任意一個角，將其三等分。（3）圓化方問題給定一個圓（即已知其半徑r），作一個正方形使其面積等于已知圓的面積。（4）n等分一個圓周這些問題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全的解決。8.代數(shù)方程根式求解問題我們知道，任何一個一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個解。對于一元三次和四次代數(shù)方程，古人們經(jīng)過長期的努力也巧妙地做到了這一點。于是人們自然要問：是否任何次代數(shù)方程的根均可用根式表示？許多努力都失敗了，但這些努力促使了近世代數(shù)的產(chǎn)生，并最終解決了這個問題。19世紀(jì)初，法國青年數(shù)學(xué)家伽羅瓦（Galois）在研究五次代數(shù)方程的解法時提出了著名的伽羅瓦理論，成了近世代數(shù)的先驅(qū)。但他的工作未被當(dāng)時的數(shù)學(xué)家所認(rèn)識，他于21歲就過早地去世了。直到19世紀(jì)后期，他的理論才由別的數(shù)學(xué)家加以進(jìn)一步的發(fā)展和系統(tǒng)的闡述。這樣一門具有悠久歷史、充滿許多有趣問題和故事的數(shù)學(xué)分支，在近代又得到了蓬勃發(fā)展和廣泛應(yīng)用，出現(xiàn)了許多應(yīng)用于某一領(lǐng)域的專著，正吸引越來越多的科技人員和學(xué)生來學(xué)習(xí)和掌握它。習(xí)題1.11.用2種顏色的珠子做成有5顆珠子的項鏈，可做成多少種不同的項鏈？2.對正四面體的頂點用兩種顏色著色，有多少種本質(zhì)上不同的著色法？3.有4個頂點的圖共有多少個？其中互不同構(gòu)的有多少個？4.如何用圓規(guī)和直尺5等分一個圓周？5.如何用根式表示3次和4次代數(shù)方程的根？1.2集合與映射前已指出，近世代數(shù)研究的對象是所謂代數(shù)系，它是一個集合，并在其中定義了一種或若干種運算。因此，我們必須對集合的基本理論很熟悉。由于大家從中學(xué)開始就對集合與映射有所了解，這里只作一些復(fù)習(xí)、補(bǔ)充和約定。1.集合的記號集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有的性質(zhì)。例如：A＝｛1，2，3｝，S＝｛X｜P（x）｝，其中p（x）表示元素x具有的性質(zhì)。本書中經(jīng)常用到以下的集合及記號：整數(shù)集合Z＝｛0，士1，±2，±3，…｝，正整數(shù)集合Z＋＝｛1，2，3，…｝，有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。一個集合A的元素個數(shù)用｜A｜表示。當(dāng)A中有有限個元素時，稱為有限集，否則稱為無限集。用｜A＝∞表示A是無限集，｜A｜＜∞表示A是有限集。本書前言前言為了滿足數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)以及理工科專業(yè)學(xué)生和科技人員學(xué)習(xí)近世代數(shù)的需要，本書盡力做到聯(lián)系實際，多舉例子，使讀者感到有趣想學(xué)。在敘述方法上盡力做到連貫、前后呼應(yīng)、合乎中文習(xí)慣。對部分定理的證明采用提示式、部分論證式等方式給出，留有思考余地，讀者若能邊學(xué)邊動手按提示完成證明或計算，會收到滿意效果。每節(jié)后的習(xí)題均附有提示或答案，便于自學(xué)。本書出版后受到讀者的歡迎，并得到同行的好評和支持，榮獲國家教委第三屆高校優(yōu)秀教材二等獎。本次再版時，根據(jù)讀者和同行的意見與建議做了修改與補(bǔ)充。在此，作者向所有給予本書關(guān)心、支持與提供寶貴意見的讀者、同行和編輯表示衷心的感謝。

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