微分方程數值方法

第一部分 常微分方程的數值解法
第1章 常微分方程初值問題
　　1.1 基本概念Euler法與梯形法
　　　1.1.1 Euler法
　　　1.1.2 梯形法
　　1.2 Runge-Kutta方法及一般單步方法
　　　1.2.1 RK方法的構造
　　　1.2.2 單步方法的相容性與收斂性
　　　1.2.3 單步方法整體截斷誤差漸近展開及其應用
　　1.3 線性多步方法
　　　1.3.1 線性多步方法的構造
　　　1.3.2 線性多步方法的應用
　　1.4 線性差分方程的基本知識
　　　1.4.1 一般性質
　　　1.4.2 常系數齊次差分方程的基本解組
　　　l.4.3 常系數差分方程解的漸近性質
　　1.5 一般多步方法的收斂性
　　　1.5.1 多步方法的收斂性
　　　1.5.2 線性多步方法情形的進一步結果
　　1.6 數值穩(wěn)定性
　　　1.6.1 線性多步方法的絕對穩(wěn)定性
　　　1.6.2 絕對穩(wěn)定區(qū)間的確定
　　　1.6.3 Runge-Kutta方法的絕對穩(wěn)定性
　　1.7 一階方程組與剛性問題
　　　1.7.1 一階方程組
　　　1.7.2 剛性問題
　　本章小結與補充討論　
　　習題
　　主要參考書目
第二部分 偏微分方程的差分方法
　第2章 橢圓型方程
　　2.1 兩點邊值問題的差分格式
　　　2.1.1 用差商代替導數的方法
　　　2.1.2 積分插值法
　　　2.1.3 邊界條件的處理
　　2.2 二階橢圓型方程邊值問題的差分格式
　　　2.2.1 區(qū)域的矩形網格剖分
　　　2.2.2 矩形區(qū)域上的差分格式
　　　2.2.3 矩形區(qū)域上邊界條件的處理
　　　2.2.4 非矩形區(qū)域上的差分格式與邊界條件的處理
　　2.3 用積分插值法構造差分格式
　　　2.3.1 偏微分萬程的積分形式
　　　2.3.2 用積分插值法構造內點的差分格式
　　　2.3.3 用積分插值法構造邊界點的差分格式
　　2.4 極值原理與差分格式的收斂性
　　　2.4.1 線性橢圓型差分方程的一般形式
　　　2.4.2 極值原理及差分格式之解的先驗估計
　　　2.4.3 五點格式的穩(wěn)定性與收斂性
　　2.5 能量估計與差分格式的收斂性
　　　2.5.1 記號，若干差分公式與不等式
　　　2.5.2 差分算子的特征值與特征函數
　　　2.5.3 兩點邊值問題差分格式之解的先驗估計及收斂性
　　　2.5.4 二階自共軛橢圓型方程邊值問題之解的先驗估計及收斂性
　　2.6 交替方向迭代法
　　　2.6.1 模型問題
　　　2.6.2 Peaceman-Rachford迭代格式
　　　2.6.3 PR迭代格式中迭代參數的選擇
　　　2.6.4 其它交替方向迭代格式
　　2.7 預處理共軛梯度法
　　　2.7.1 共軛梯度法主要步驟與性質
　　　2.7.2 預處理共軛梯度法的步驟及預優(yōu)矩陣的構造
　　2.8 多重網格法
　　　2.8.1 一維模型問題與古典迭代的光滑效應
　　　2.8.2 二重網格法
　　　2.8.3 多重網格法　
　　本章小結與補充討論
　　習題
　第3章 拋物型方程
　　3.1 一維拋物型方程初邊值問題的差分格式
　　　3.1.1 常系數熱傳導方程的古典格式
　　　3.1.2 變系數方程的差分格式
　　3.2 差分格式的穩(wěn)定性與收斂性
　　　3.2.1 差分格式的穩(wěn)定性
　　　3.2.2 差分格式的相容性與收斂性
　　3.3 穩(wěn)定性研究中的矩陣方法
　　　3.3.1 矩陣方法的一般討論
　　　3.3.2 常系數熱傳導方程古典格式的穩(wěn)定性
　　　3.3.3 第三邊值問題差分格式的穩(wěn)定性
　　3.4 穩(wěn)定性研究中的分離變量法
　　　3.4.1 分離變量法的一般討論
　　　3.4.2 對多個空間變量情形的應用
　　　3.4.3 對三層格式的應用
　　3.5 用能量估計方法分析熱傳導方程差分格式穩(wěn)定性
　　　3.5.1 熱傳導系數與時間無關的情形
　　　3.5.2 熱傳導系數與時間相關的情形
　　3.6 差分格式的單側逼近性質及其應用
　　3.7 交替方向隱格式及相關的格式
　　　3.7.1 PR格式
　　　3.7.2 Douglas格式
　　　3.7.3 非齊次邊界條件情形下過渡層邊值的取法
　　　3.7.4 局部—維格式寫預測-校正格式
　　本章小結與補充討論
　　習題
　第4章 雙曲型方程
　　4.1 一階線性雙曲型方程的差分格式
　　　4.1.1 一階常系數方程初值問題
　　　4.1.2 一階常系數方程初邊值問題
　　　4.1.3 一階變系數方程初邊值問題
　　4.2 一階常系數線性雙曲型方程組的差分格式
　　4.3 二階線性雙曲型方程的差分格式
　　　4.3.1 一維常系數波動方程
　　　4.3.2 一維變系數波動方程
　　　4.3.3 二維波動方程
　　4.4 交替方向隱格式
　　4.5 對流擴散方程的特征差分格式
　　　4.5.1 問題敘述
　　　4.5.2 基于線性插值的特征差分格式
　　　4.5.3 基于二次插值的特征差分格式
　　本章小結與補充討論
　　習題
　　主要參考書目
第三部分 偏微分方程的有限元方法
　第5章 邊值問題的變分原理
　　5.1 古典變分法的一些概念
　　　5.1.1 泛函的極值與Euler方程
　　　5.1.2 自然邊界條件
　　　5.1.3 多個自變量的情形
　　　5.1.4 自然邊界條件(續(xù))
　　5.2 邊值問題的變分原理
　　　5.2.1 邊值問題與最小位能原理
　　　5.2.2 虛功原理　
　　　5.2.3 邊值問題與變分問題的關系
　　　5.2.4 內邊界條件
　　5.3 Sobolev空間與廣義解
　　　5.3.1 廣義導數　
　　　5.3.2 Sobolev空間
　　　5.3.3 廣義解的存在性和唯一性
　　5.4 變分近似法
　　　5.4.1 Ritz方法
　　　5.4.2 Galerkin方法
　　　5.4.3 投影定理
　　本章小結與補充討論
　　習題
　第6章 有限元方法的基本結構
　　6.1 兩點邊值問題的有限元方法
　　　6.1.1 用Ritz方法建立有限元方程
　　　6.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程
　　6.2 二維邊值問題的有限元方法
　　　6.2.1 三角剖分與分片插值
　　　6.2.2 單元分析與總體合成
　　　6.2.3 積分的計算
　　　6.2.4 本質邊界條件的處理
　　　6.2.5 有限元方程的求解
　　　6.2.6 有限元方法的一般過程
　　本章小結與補充討論
　　習題
　　附錄：數值積分公式
　第7章 有限元方法的幾個問題
　　7.1 形狀函數與有限元空間
　　　7.1.1 引言
　　　7.1.2 一維高次元的形狀函數
　　　7.1.3 一維Hermite型的形狀函數
　　　7.1.4 二維矩形單元的形狀函數
　　　7.1.5 二維三角形單元的形狀函數
　　　7.1.6 等參數單元
　　　7.1.7 三維情形
　　　7.1.8 單元形狀函數小結
　　7.2 收斂性與誤差估計
　　　7.2.1 引言
　　　7.2.2 Sobolev空間的插值理論
　　　7.2.3 有限元方法的收斂性與誤差估計
　　7.3 拋物型方程的有限元方法
　　　7.3.1 引言
　　　7.3.2 半離散的有限元方程
　　　7.3.3 全離散的有限元方程
　　本章小結與補充討論
　　習題
　　主要參考書目