對稱性分岔理論基礎

第一章引論
1.1對稱性分岔問題和方法
1.1.1分岔問題
1.1.2對稱性
1.1.3穩(wěn)定性和對稱性的變化
1.1.4Hopf分岔
1.1.5離散系統(tǒng)的對稱性分岔問題
1.1.6對稱性分岔問題的處理方式
1.2泛函分析工具
1.2.1Banach空間中的微分運算
1.2.2反函數和隱函數定理
1.2.3靜態(tài)分岔存在的必要條件
1.2.4Fredholm算子
1.3Liapunov-Schmidt簡約
1.3.1Liapunov-Schmidt簡約的基本步驟
1.3.2系數計算公式
1.3.3Fredholm算子情形
1.3.4應用
1.4奇點理論初步
1.4.1有關的代數知識
1.4.2芽空間
1.4.3Malgrange預備定理
1.5Malgrange預備定理的證明
1.5.1除法定理
1.5.2Malgrange預備定理的證明
1.5.3引理1.5.3的證明
1.5.4Nirenberg延拓定理的證明
習題一
第二章單變量分岔理論
2.1軌道切空間
2.1.1等價和強等價
2.1.2軌道切空間
2.1.3軌道切空間的基本定理及推論
2.2內蘊理想與識別問題
2.2.1內蘊理想
2.2.2最大和最小內蘊理想
2.2.3夕集
2.2.4識別問題的解
2.3普適開折理論
2.3.1開折與切空間
2.3.2普適開折及其計算
2.3.3普適開折的識別
2.3.4持久性與模數
2.4初等分岔與突變
2.4.1初等分岔的分類
2.4.2初等分岔的識別
2.4.3初等分岔的普適開折及其識別
2.4.4與初等突變的比較
2.5Z2等變分岔問題的識別與普適開折
2.5.1Z2等變分岔問題
2.5.2強內蘊子模與識別問題
2.5.3普適開折及其識別
2.6Z2對稱初等分岔
2.6.1分類定理
2.6.2一些引理
2.6.3分類定理的證明及普適開折
習題二
第三章群論方法
3.1緊Lie群和Haar積分
3.1.1緊Lie群的概念
3.1.2Haar積分
3.1.3緊群上連續(xù)函數的平均值
3.1.4Haar積分定理的證明
3.2群表示論
3.2.1群表示和作用
3.2.2不可約表示與Perter-Weyl定理
3.2.3Perter-Weyl定理的證明
3.3不可約性
3.3.1不可約子空間
3.3.2絕對不可約性
3.3.3關于SO(3)和O(3)群的不可約表示
3.3.4Schur引理和Frobenius定理
3.3.5Frobenius-Schur定理的證明
3.3.6等變線性映射
3.4迷向子群
3.4.1不動點子空間
3.4.2迷向子群
3.4.3最大迷向子群
3.5不變函數和等變映射
3.5.1不變函數環(huán)
3.5.2等變映射
3.5.3等變矩陣值映射
3.6關于不變量定理的證明
3.6.1Hilbert基定理和定理3.5.1的證明
3.6.2關于Schwarz定理的證明
3.6.3不變量定理的證明
習題三
第四章等變分岔理論
4.1等變分岔問題
4.1.1等變隱函數定理
4.1.2等變的Liapunov-Schmidt簡約
4.1.3等變分岔問題的等價
4.1.4關于等變向量場的穩(wěn)定性問題
4.2等價軌道切空間與等變限制切空間
4.2.1等價軌道切空間與等變限制切空間
4.2.2等變限制切空間的計算問題
4.3等變分岔問題的識別
4.3.1軌道切空間的一個重要性質
4.3.2應用
4.3.3內蘊理想和內蘊子模
4.3.4高階項
4.3.5識別問題
4.4等變普適開折理論
4.4.1等變普適開折
4.4.2等變切空間與等變普適開折定理
4.4.3普適開折的計算
4.4.4普適開折的識別
4.5等變普適開折定理的證明
4.5.1等變預備定理
4.5.2等變普適開折定理的證明
4.5.3普適開折的唯一性
習題四
第五章向量場的局部分岔理論方法
5.1簡單分岔
5.1.1簡單分岔的Liapunov-Schmidt簡約
5.1.2一些引理
5.1.3定理5.1.3的證明
5.1.4應用
5.2Hopf分岔理論
5.2.1Hopf定理
5.2.2定理5.2.1的證明
5.2.3系數的計算
5.2.4關于對Hilbert第16問題的應用
5.3Floquet理論及應用
5.3.1線性周期系統(tǒng)的Floquet理論
5.3.2非線性方程周期解的穩(wěn)定性
5.3.3定理5.2.3的證明
5.3.4關于等變形式的Floquet算子
5.4向量場的中心流形和正規(guī)形理論
5.4.1中心流形理論
5.4.2向量場的正規(guī)形
5.4.3補空間的計算
5.4.4補空間的另一種描述
5.5模態(tài)相互作用
5.5.1基本的模態(tài)相互作用
5.5.2Z2等變分岔問題
5.5.3關于定態(tài)-Hopf模態(tài)相互作用
5.5.4D2等變分岔問題
5.5.5關于Hopf-Hopf模態(tài)相互作用
5.5.6關于Zm等變向量場
習題五
第六章對稱破缺理論
6.1定態(tài)分岔的自發(fā)對稱破缺
6.1.1等變分支引理
6.1.2穩(wěn)定性
6.1.3關于SO(3)和O(3)群
6.2Hopf分岔中的對稱破缺
6.2.1空間對稱與空時對稱
6.2.2圓周群的作用
6.2.3等變的Hopf定理
6.2.4周期解的穩(wěn)定性
6.3具有對稱性的Hopf分岔問題
6.3.1F×S1的迷向子群
6.3.2F×S1的不變量理論
6.3.3O(2)×S1作用
6.3.4Hopf分岔的振幅方程
6.3.5D4等變分岔問題
6.4具有O(2)對稱的模態(tài)相互作用
6.4.1定態(tài)定態(tài)模態(tài)相互作用
6.4.2定態(tài)-Hopf模態(tài)相互作用
6.4.3Hopf-Hopf模態(tài)相互作用
習題六
第七章離散系統(tǒng)中吸引子的對稱性
7.1拓樸動力系統(tǒng)
7.1.1不變集和極限集
7.1.2吸引子
7.1.3拓撲傳遞性
7.1.4敏感依賴性
7.2吸引子的對稱性
7.2.1集合的對稱群
7.2.2吸引子的對稱性
7.3有限群作用下吸引子的對稱性
7.3.1容許子群和強容許子群
7.3.2基本分解
7.3.3二面體群及其等變映射
7.3.4容許和強容許子群的基本性質
7.3.5容許子群和強容許子群的分類
7.4關于容許子群基本定理的證明
7.4.1圖上的動力系統(tǒng)
7.4.2圖上的等變系統(tǒng)
7.4.3圖的嵌入和擴張
7.4.4定理7.3.15的證明
7.4.5定理7.3.18的證明
習題七
參考文獻