工程數(shù)學：復變函數(shù)

引言
第一章 復數(shù)和復變函數(shù)及其極限
1-1 復數(shù)及其運算
一. 復數(shù)的概念及其表示法
二. 復數(shù)的代數(shù)運算
三. 擴充復平面與復球面
習題一
習題答案
1-2 復平面上曲線和區(qū)域
一. 復平面上曲線方程的各種表示
二. 簡單曲線與光滑曲線
三. 平面點集與區(qū)域
習題二
習題答案
1-3 復變函數(shù)與整線性映射
一. 復變函數(shù)的概念
二. 復映射--復變函數(shù)的幾何意義
三. 整線性映射及其保圓性
習題三
習題答案
1-4 復變函數(shù)的極限和連續(xù)
一. 復變函數(shù)的極限
二. 復變函數(shù)的連續(xù)性
習題四
習題答案
第二章 解析函數(shù)
2-1 復變函數(shù)的導數(shù)
一. 導數(shù)的概念及其求導法則
二. 微分的定義及其可微的充要條件
習題一
習題答案
2-2 函數(shù)的解析性和指數(shù)函數(shù)
一. 函數(shù)解析的概念和充要條件
二. 解析函數(shù)的運算性質(zhì)
三. 指數(shù)函數(shù)exp z =ez
習題二
習題答案
2-3 初等解析函數(shù)
一. 對數(shù)函數(shù)
二. 冪函數(shù)
三. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)
四. 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)
習題三
習題答案
第三章 復積分
3-1 復積分的概念及其性質(zhì)
一. 復變函數(shù)積分的概念
二. 復積分的存在性及其一般計算公式
三. 復積分的簡單性質(zhì)
習題一
習題答案
3-2 積分與其路徑的無關性
一. 復積分與其積分路徑無關的條件
二. 解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計算中的應用
三. 復閉路定理和閉路變形原理
習題二
習題答案
3-3 Cauchy積分公式和高階導數(shù)公式
一. 解析函數(shù)的Cauchy積分公式
二. 解析函數(shù)的高階導數(shù)定理
三. 解析函數(shù)的實部和虛部與調(diào)和函數(shù)
習題三
習題答案
3-4 平面調(diào)和場及其復勢
一. 平面向量場的旋度和散度與平面調(diào)和場
二. 平面調(diào)和場的復勢及其有關等式
三. 平面流速場和靜電場的復勢求法及其應用
習題四
習題答案
第四章 復級數(shù)
4-1 復數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)
一. 復數(shù)列的收斂性及其判別法
二. 復數(shù)項級數(shù)的收斂性及其判別法
三. 冪級數(shù)及其收斂半徑
四. 冪級數(shù)的運算性質(zhì)
習題一
習題答案
4-2 Taylor級數(shù)
一. 有關逐項積分的兩個引理
二. Taylor級數(shù)展開定理
三. 基本初等函數(shù)的Taylor級數(shù)展開式
四. 典型例題及其說明
習題二
習題答案
4-3 Laurent級數(shù)
一. Laurent級數(shù)展開定理
二. Laurent級數(shù)的性質(zhì)
三. 用Laurent級數(shù)展開式計算積分
習題三
習題答案
第五章 留數(shù)及其應用
5-1 函數(shù)的孤立奇點及其分類
一. 函數(shù)孤立奇點的概念和分類
二. 函數(shù)各類孤立奇點的充要條件
三. 用函數(shù)的零點判別極點的類型
四. 函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)
習題一
習題答案
5-2 留數(shù)和留數(shù)定理
一. 留數(shù)的定義和計算
二. 留數(shù)定理
三. 函數(shù)在無窮遠點處的留數(shù)
習題二
習題答案
5-3 留數(shù)在定積分計算中的應用
一. 形如Il= 的積分
二. 形如I2= 的積分
三. 形如I3= 的積分
習題三
習題答案
5-4 輻角原理及其應用
一. 對數(shù)留數(shù)
二. 輻角原理
三. Rouche''定理
習題四
習題答案
第六章 保角映射
6-1 保角映射的概念
一. 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角
二. 解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義
三. 保角映射的概念和定理
習題一
習題答案
6-2 分式線性映射及其性質(zhì)
一. 在擴充復平面上的保圓性
二. 在擴充復平面保持交比的不變性
三. 對擴充復平面上圓周的保對稱性
四. 對有向圓周和直線的保側(cè)性
五. 三種特殊的分式線性映射
習題二
習題答案
6-3 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射
一. 對數(shù)映射w=lnz和指數(shù)映射w=ez
二. 冪映射w=zn及其逆映射 n=2, 3, …
三. 儒可夫斯基 H. E. yKOBCKHH 函數(shù)
習題三
習題答案
6-4 保角映射幾個一般性定理及其應用
一. 保角映射的幾個一般性定理
二. Schwarz-Christoffel映射--多角形映射
三. 用保角映射解Laplace方程邊值問題
習題四
習題答案
參考文獻和推薦參考書