數學物理方程

引言
第一章波動方程
1方程的導出.定解條件
1.弦振動方程的導出(1)
2.定解條件(4)
3.定解問題適定性概念(6)
習題(6)
2達朗貝爾(d'Alembert)公式.波的傳播
1.疊加原理(7)
2.弦振動方程的達朗貝爾解法(8)
3.傳播波(10)
4.依賴區(qū)間.決定區(qū)域和影響區(qū)域(10)
5.齊次化原理(12)
習題(14)
3初邊值問題的分離變量法
1.分離變量法(16)
2.解的物理意義(19)
3.非齊次方程的情形(20)
4.非齊次邊界條件的情形(21)
習題(22)
4高維波動方程的柯西問題
1.膜振動方程的導出(23)
2.定解條件的提法(26)
3.球平均法(27)
4.降維法(30)
5.非齊次波動方程柯西問題的解(31)
習題(33)
5波的傳播與衰減
1.依賴區(qū)域.決定區(qū)域和影響區(qū)域(33)
2.惠更斯(Huygens)原理.波的彌散(35)
3.波動方程解的衰減(36)
習題(37)
6能量不等式.波動方程解的唯一性和穩(wěn)定性
1.振動的動能和位能(37)
2.初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性(38)
3.柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性(41)
習題(44)
第二章熱傳導方程
1熱傳導方程及其定解問題的導出
1.熱傳導方程的導出(45)
2.定解問題的提法(46)3
.擴散方程(48)
習題(48)
2初邊值問題的分離變量法
1.一個空間變量的情形(49)
2.圓形區(qū)域上的熱傳導問題(52)
習題(53)
3柯西問題
1.傅里葉變換及其基本性質(54)
2.熱傳導方程柯西問題的求解(56)
3.解的存在性(58)
習題(59)
4極值原理.定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性
1.極值原理(60)
2.初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性(61)
3.柯西問題解的唯一性和穩(wěn)定性(64)
習題(65)
5解的漸近性態(tài)
1.初邊值問題解的漸近性態(tài)(65)
2.柯西問題解的漸近性態(tài)(66)
習題(67)
第三章調和方程
1建立方程.定解條件
1.方程的導出(68)
2.定解條件和定解問題(69)
3.變分原理(71)
習題(73)
2格林公式及其應用
1.格林(Green)公式(74)
2.平均值定理(77)
3.極值原理(77)
4.第一邊值問題解的唯一性及穩(wěn)定性(78)
習題(79)
3格林函數
1.格林函數及其性質(80)
2.靜電源像法(82)
3.解的驗證(85)
4.單連通區(qū)域的格林函數(86)
5.調和函數的基本性質(87)
習題(91)
4強極值原理.第二邊值問題解的唯一性
1.強極值原理(91)
2.第二邊值問題解的唯一性(93)
3.用能量積分法證明邊值問題的解的唯一性(94)
習題(95)
第四章二階線性偏微分方程的分類與總結
1二階線性方程的分類
1.兩個自變量的方程(96)
2.兩個自變量的二階線性方程的化簡(96)
3.方程的分類(99)
4.例(100)
5.多個自變量的方程的分類(101)
習題(102)
2二階線性方程的特征理論
1.特征概念(103)
2.特征方程(104)
3.例(106)
習題(107)
3三類方程的比較
1.線性方程的疊加原理(108)
2.解的性質的比較(109)
3.定解問題提法的比較(112)
習題(115)
4先驗估計
1.橢圓型方程解的最大模估計(116)
2.熱傳導方程解的最大模估計(116)
3.雙曲型方程解的能量估計(117)
4.拋物型方程解的能量估計(120)
5.橢圓型方程解的能量估計(121)
習題(123)
第五章一階偏微分方程組
1引言
1.一階偏微分方程組的例子(124)
2.一階方程組與高階方程的關系(126)
習題(127)
2兩個自變量的一階線性偏微分方程組的特征理論
1.特征方程.特征線(128)
2.兩個自變量的一階線性偏微分方程組的分類(129)
3.將嚴格雙曲型方程組化為對角型(130)
習題(132)
3兩個自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題
1.化為積分方程組(133)
2.柯西問題解的存在性與唯一性(134)
3.對初始條件的連續(xù)依賴性(137)
4.依賴區(qū)間.決定區(qū)域和影響區(qū)域(137)
5.關于柯西問題提法正確性的附注(138)
習題(139)
4兩個自變量的線性雙曲型方程組的其他定解問題
1.廣義柯西問題(140)
2.古爾沙(Goursat)問題(140)
3.一般角狀區(qū)域上的邊值問題(141)
習題(142)
5冪級數解法.柯西-柯瓦列夫斯卡婭(Cauchy-KoBaJIeBcKa)定理
1.冪級數解法(143)
2.柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理(144)
習題(148)
第六章廣義解與廣義函數解
1廣義解
1.研究廣義解的必要性(149)
2.強解(149)
3.弱解(151)
習題(152)
2廣義函數的概念
1.廣義函數的物理背景(152)
2.廣義函數的數學概念(153)
3.基本函數空間(154)
4.'(Rn),'(Rn),'(Rn)廣義函數(156)
習題(157)
3廣義函數的性質與運算
1.廣義函數的極限(158)
2.廣義函數的導數(159)
3.廣義函數的乘子(159)
4.廣義函數的卷積(160)
習題(161)
4廣義函數的傅里葉變換
1.(Rn)上的傅里葉變換(162)
2.'(Rn)上的傅里葉變換(163)
習題(165)
5基本解
1.柯西問題的基本解(165)
2.調和方程的基本解(168)
3.其他類型的基本解(169)
習題(170)
第七章偏微分方程的數值解
1調和方程狄利克雷問題的數值解
1.有限差分法(171)
2.元體平衡法(173)
3.有限元素法(里茨(Ritz)法)(176)
4.有限元素法(伽遼金(aJIepKHH)法)(178)
習題(180)
2熱傳導方程的差分法
1.一維熱傳導方程的顯式差分格式(180)
2.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性(182)
3.隱式格式及其穩(wěn)定性(184)習題(185)
3波動方程的差分法
1.波動方程初邊值問題的差分格式(185)
2.C-F-L條件(Courant-Friedrichs-Lewy條件)(186)
習題(188)
附錄I傅里葉級數系數的估計
附錄II張緊薄膜的張力為常值的證明
附錄III特殊函數