數值分析原理

第一章 緒論
1.1 數值分析的對象與任務
1.2 誤差基礎知識
1.2.1 誤差來源
1.2.2 誤差度量
1.2.3 初值誤差傳播
1.3 舍入誤差分析及數值穩(wěn)定性
1.3.1 浮點數系及其運算的舍入誤差
1.3.2 算法的數值穩(wěn)定性
習題1
第二章 函數插值
2.1 插值問題
2.2 插值多項式的構造方法
2.2.1 拉格朗日插值法
2.2.2 牛頓插值法
2.2.3 等距節(jié)點插值公式
2.2.4 帶導數的插值問題
2.3 分段插值法
2.3.1 高次插值的評述
2.3.2 分段插值
2.3.3 三次樣條插值
2.3.4 B樣條插值
習題2
第三章 函數逼近
3.1 賦范線性空間與函數逼近問題
3.1.1 賦范線性空間
3.1.2 函數逼近問題
3.2 內積空間與正交多項式
3.2.1 內積空間
3.2.2 正交多項式的性質
3.2.3 常用的正交多項式系
3.3 最佳平方逼近與廣義fourier級數
3.3.1 最佳平方逼近問題的求解
3.3.2 基于正交函數基的最佳平方逼近
3.3.3 廣義Fourier級數
3.4 曲線擬合的最小二乘方法
3.4.1 曲線擬合模型及其求解
3.4.2 關于離散gram矩陣的進一步討論
3.4.3 用關于點集的正交函數系作最小二乘曲線擬合
3.5 最佳一致逼近多項式
3.5.1 魏爾斯特拉斯定理
3.5.2 最佳一致逼近多項式的存在惟一性
3.5.3 最佳一致逼近多項式求法的討論
習題3
第四章 數值積分與數值微分
4.1 數值積分概述
4.1.1 求積公式的代數精確度
4.1.2 收斂性與穩(wěn)定性
4.2 牛頓-柯特斯公式
4.2.1 插值型求積公式
4.2.2 牛頓-柯特斯公式
4.2.3 復化求積公式
4.2.4 截斷誤差
4.2.5 區(qū)間逐次分半求積法
4.3 龍貝格求積算法
4.4 高斯型求積公式
4.4.1 一般理論
4.4.2 高斯-勒讓德求積公式
4.4.3 高斯-切比雪夫求積公式
4.4.4 高斯-拉蓋爾求積公式
4.4.5 高斯-埃爾米特求積公式
4.5 奇異積分與振蕩函數積分的計算
4.5.1 無界函數積分的計算
4.5.2 無窮區(qū)間積分的計算
4.5.3 振蕩函數積分的計算
4.6 二重積分的計算
4.6.1 基本方法
4.6.2 復化求積公式
4.6.3 高斯型求積公式
4.7 數值微分
4.7.1 插值法
4.7.2 泰勒展開法
習題4
第五章 解線性代數方程組的直接法
5.1 高斯消去法
5.1.1 高斯順序消去法
5.1.2 高斯主元消去法
5.2 矩陣三角分解法
5.2.1 直接三角分解法
5.2.2 列主元直接三角分解法
5.2.3 平方根法
5.2.4 三對角和塊三對角方程組的追趕法
5.3 矩陣的條件數和方程組的性態(tài)
5.3.1 向量和矩陣范數
5.3.2 擾動方程組解的誤差界
5.3.3 矩陣的條件數和方程組的性態(tài)
5.3.4 關于病態(tài)方程組的求解
習題5
第六章 解線性代數方程組的迭代法
6.1 向量和矩陣序列的極限
6.1.1 極限概念
6.1.2 序列收斂的等價條件
6.2 迭代法的基本理論
6.2.1 簡單迭代法的構造
6.2.2 簡單迭代法的收斂性和收斂速度
6.2.3 高斯-賽德爾迭代法及其收斂性
6.3 幾種常用的迭代法
6.3.1 雅可比迭代法
6.3.2 與雅可比法相應的高斯-賽德爾迭代法
6.3.3 逐次超松弛（SOR）迭代法
6.4 最速下降法與共軛梯度法
6.4.1 最速下降法
6.4.2 共軛梯度法
習題6
第七章 非線性方程求根
7.1 二分法
7.2 迭代法的算法和理論
7.2.1 不動點迭代法
7.2.2 不動點迭代法的一般理論
7.2.3 局部收斂性，收斂階
7.3 迭代的加速收斂方法
7.3.1 使用兩個迭代值的組合方法
7.3.2 使用三個迭代值的組合方法
7.4 牛頓迭代法
7.4.1 標準牛頓迭代法及其收斂階
7.4.2 重根情形的牛頓迭代法
7.4.3 牛頓下山法
7.5 弦割法和拋物線法
7.5.1 弦割法及其收斂性
7.5.2 拋物線法
7.6 非線性方程組的迭代解法簡介
7.6.1 一般概念
7.6.2 不動點迭代法
7.6.3 牛頓迭代法
習題7
第八章 矩陣特征值與特征向量計算
8.1 乘冪法與反冪法
8.1.1 乘冪法
8.1.2乘冪法的加速技術
8.1.3 反冪法
8.2 雅可比方法
8.2.1 古典雅可比方法
8.2.2 雅可比過關法
8.3 QR方法
8.3.1 反射矩陣與平面旋轉矩陣
8.3.2 矩陣的QR分解
8.3.3 豪斯霍爾德方法
8.3.4 QR方法的收斂性
8.3.5 帶原點平移的QR方法
8.4 求實對稱三對角陣特征值的二分法
8.4.1 矩陣A的特征多項式序列及其性質
8.4.2 特征值的計算
習題8
第九章 常微分方程初值問題的數值解法
9.1 引言
9.2 歐拉方法
9.2.1顯式歐拉方法
9.2.2 隱式歐拉方法和歐拉方法的改進
9.2.3 單步法的局部截斷誤差和階
9.3 龍格-庫塔方法
9.3.1 泰勒方法
9.3.2 龍格-庫塔方法
9.3.3 龍格-庫塔方法的其他問題
9.4 單步法的進一步討論
9.4.1 收斂性
9.4.2 相容性
9.4.3 穩(wěn)定性
9.5 線性多步方法
9.5.1 線性多步方法的一般問題
9.5.2 線性多步方法的構造
9.5.3 預估-校正方法
9.6 線性多步法的進一步討論
9.6.1 線性多步法的相容性
9.6.2 線性多步法的收斂性
9.6.3 線性多步法的穩(wěn)定性
9.6.4 預估-校正法的穩(wěn)定性
9.7 一階方程組與剛性問題簡介
9.7.1 一階方程組
9.7.2 剛性問題簡介
習題9
參考文獻
附錄 關于線性常系數差分方程的幾點知識
參考答案