代數(shù)特征值問題

第一章 理論基礎(chǔ)
引言
定義
轉(zhuǎn)置矩陣的特征值與特征向量
不相同的特征值
相似變換
重特征值與一般矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型
虧損特征向量系
Jordan 經(jīng)典的 標(biāo)準(zhǔn)型
初等因子
A的特征多項(xiàng)式的友矩陣
非減次矩陣
Frobenius 有理的 標(biāo)準(zhǔn)型
Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)系
相抵變換
矩陣
初等運(yùn)算
Smith標(biāo)準(zhǔn)型
矩陣的k行子式的最大公因子
A-I 的不變因子
三角標(biāo)準(zhǔn)型
Hermite矩陣與對稱矩陣
Hermite矩陣的基本性質(zhì)
復(fù)對稱矩陣
用酉變換化成三角型
二次型
正定性的充要條件
常系數(shù)微分方程
對應(yīng)于非線性初等因子的解
高階微分方程
特殊形式的二階方程
By=-Ay的顯式解
形如 AB-I x＝0的方程
向量的最小多項(xiàng)式
矩陣的最小多項(xiàng)式
Cayley-Hamilton定理
最小多項(xiàng)式與標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)系
主向量
初等相似變換
初等矩陣的性質(zhì)
用初等相似變換化成三角標(biāo)準(zhǔn)型
初等酉變換
初等酉Hermite矩陣
用初等酉變換化成三角型
正規(guī)矩陣
可交換矩陣
AB的特征值
向量與矩陣的范數(shù)
從屬的矩陣范數(shù)
Euclid范數(shù)與譜范數(shù)
范數(shù)與極限
避免使用矩陣無窮級數(shù)
第二章 攝動理論
引言
關(guān)于特征值連續(xù)性的Ostrowski定理
代數(shù)函數(shù)
數(shù)值例題
單特征值的攝動理論
對應(yīng)特征向量的攝動
具有線性初等因子的矩陣
特征值的一階攝動
特征向量的一階攝動
高階攝動
重特征值
Gerschgorin定理
基于Gerschgorin定理的攝動理論
情形1具有線性初等因子矩陣的單特征值1的攝動
情形2具有線性初等因子矩陣的重特征值1的攝動
情形3具有一個或多個非線性初等因子矩陣的單特征
值的攝動
情形4相應(yīng)于非減次矩陣非線性因子的特征值的攝動
情形5當(dāng)有一個以上 i- 冪次的初等因子且至
少有一個為非線性時, 特征值i的攝動
相應(yīng)于非線性因子一般分布的攝動
根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的特征向量的攝動理論
相應(yīng)于重特征值 線性初等因子 的特征向量的攝動
攝動理論的限度
si之間的關(guān)系
計(jì)算問題的條件
條件數(shù)
矩陣A關(guān)于特征值問題的譜條件數(shù)
譜條件數(shù)的性質(zhì)
條件數(shù)的不變性
非常病態(tài)的矩陣
實(shí)對稱矩陣的攝動理論
非對稱攝動
對稱攝動
經(jīng)典方法
秩為1的對稱矩陣
特征值的極值性質(zhì)
特征值的極小-極大性質(zhì)
兩個對稱矩陣之和的特征值
實(shí)際應(yīng)用
極小-極大原理的進(jìn)一步應(yīng)用
分隔定理
Wielandt-Hoffman定理
第三章 誤差分析
引言
定點(diǎn)運(yùn)算
內(nèi)積的累加
浮點(diǎn)運(yùn)算
誤差界的簡化表示
某些基本浮點(diǎn)計(jì)算的誤差界
誤差矩陣的范數(shù)的界
浮點(diǎn)運(yùn)算中內(nèi)積的累加
某些基本fl2
計(jì)算的誤差界
平方根的計(jì)算
塊浮點(diǎn)向量和矩陣
t位計(jì)算的基本限制
用相似變換作簡化的特征值方法
基于初等非酉變換方法的誤差分析
基于初等酉變換的方法的誤差分析
酉變換的優(yōu)越性
實(shí)對稱矩陣
酉變換的限度
用浮點(diǎn)計(jì)算的平面旋轉(zhuǎn)的誤差分析
用平面旋轉(zhuǎn)的乘法
用一系列平面旋轉(zhuǎn)做乘法
近似的平面旋轉(zhuǎn)乘積的誤差
相似變換的誤差
對稱矩陣
定點(diǎn)運(yùn)算的平面旋轉(zhuǎn)
sin和cos的另一種算法
用近似的定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)左乘
用一系列平面旋轉(zhuǎn)相乘 定點(diǎn)
一組近似平面旋轉(zhuǎn)的計(jì)算乘積
相似變換的誤差
關(guān)于誤差界的總評述
浮點(diǎn)計(jì)算的初等Hermite矩陣
初等Hermite矩陣計(jì)算的誤差分析
數(shù)值例子
用近似的初等Hermite矩陣左乘
用近似的初等Hermite矩陣序列的乘法
類似平面旋轉(zhuǎn)的非酉初等矩陣
類似于初等Hermite矩陣的非酉初等矩陣
用非酉矩陣序列左乘
先驗(yàn)的誤差界
正規(guī)性的偏離
簡單的例子
后驗(yàn)的界
正規(guī)矩陣的后驗(yàn)的界
Rayleigh商
Rayleigh商的誤差
Hermite矩陣
病態(tài)地靠近的特征值
非正規(guī)矩陣
完全特征系的誤差分析
數(shù)值例子
限制可達(dá)精度的條件
非線性初等因子
近似的不變子空間
幾乎正規(guī)矩陣
第四章 線性代數(shù)方程組的解法
引言
攝動理論
條件數(shù)
平衡矩陣
簡單的實(shí)際例子
特征向量矩陣的條件
顯式解
對矩陣條件的總評述
病態(tài)和幾乎奇異的關(guān)系
t位運(yùn)算的限制
解線性方程組的算法
Gauss消去法
三角形分解
三角形分解矩陣的結(jié)構(gòu)
三角形矩陣元素的顯式表達(dá)式
Gauss消去法的中斷
數(shù)值穩(wěn)定性
交換的重要性
數(shù)值例子
Gauss消去法的誤差分析
用定點(diǎn)運(yùn)算的攝動矩陣的上界
約化后的矩陣元素的上界
全主元素
部分主元素方法的實(shí)際過程
浮點(diǎn)誤差分析
不選主元素的浮點(diǎn)分解
有效位的損失
流傳的謬誤
特殊形式的矩陣
在高速計(jì)算機(jī)上的Gauss消去法
對應(yīng)不同的右端的解
直接的三角形分解
Gauss消去法和直接的三角形分解的關(guān)系
分解不唯一和失敗的例子
有行交換的三角形分解
三角形分解的誤差分析
行列式計(jì)算
Cholesky分解
對稱非正定矩陣
定點(diǎn)運(yùn)算Cholesky分解的誤差分析
病態(tài)矩陣
用初等Hermite矩陣的三角形化
Householder三角形化的誤差分析
用M''ji型初等穩(wěn)定矩陣的三角形化
前主子式的計(jì)算
用平面旋轉(zhuǎn)的三角形化
Givens約化的誤差分析
正交三角形化的唯一性
Schmidt正交化
三角形化方法的比較
向后回代
三角形方程組的計(jì)算解的高精度
一般的方程組的解
一般矩陣的逆的計(jì)算
計(jì)算解的精度
沒有小主元素的病態(tài)矩陣
近似解的迭代改進(jìn)
迭代過程中舍入誤差的影響
定點(diǎn)計(jì)算的迭代過程
迭代過程的一個簡單例子
迭代過程的總評述
有關(guān)的迭代法
迭代過程的極限
迭代法的嚴(yán)格的調(diào)整
第五章 Hermite矩陣
引言
實(shí)對稱矩陣的經(jīng)典Jacobi方法
收斂率
收斂于固定的對角矩陣
順序Jacobi方法
Gerschgorin圓
Jacobi方法的最后的二次收斂性
靠近的和重的特征值
數(shù)值例子
cos和sin的計(jì)算
更簡單的轉(zhuǎn)角計(jì)算方法
過關(guān)Jacobi方法
特征向量計(jì)算
數(shù)值例子
Jacobi方法的舍入誤差
計(jì)算的特征向量的精確度
用定點(diǎn)計(jì)算的誤差界
程序編制問題
Givens方法
在有兩級存儲設(shè)備的計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)Givens方法
Givens方法的浮點(diǎn)誤差分析
定點(diǎn)誤差分析
數(shù)值例子
Householder方法
利用對稱性
存儲方案的研究
在有內(nèi). 外存儲設(shè)備的計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)Householder方法
用定點(diǎn)運(yùn)算的Householder方法
數(shù)值例子
Householder方法的誤差分析
對稱三對角矩陣的特征值
Sturm序列性質(zhì)
分半法
分半法的數(shù)值穩(wěn)定性
數(shù)值例子
關(guān)于分半法的總評述
小特征值
靠近的特征值和小Bi
特征值的定點(diǎn)計(jì)算
三對角型的特征向量計(jì)算
特征向量顯式表達(dá)式的不穩(wěn)定性
數(shù)值例子
逆迭代
初始向量b的選擇
誤差分析
數(shù)值例子
靠近的特征值和小的Bi
對應(yīng)重特征值的線性獨(dú)立特征向量
計(jì)算特征向量的交替方法
數(shù)值例子
三對角矩陣特征問題的評論
Givens和Householder方法的完成
方法的比較
擬對稱三對角矩陣
特征向量的計(jì)算
形如Ax＝Bx和ABx＝x的方程
數(shù)值例子
同時簡化A和B為對角型
三對角矩陣A和B
復(fù)Hermite矩陣
第六章 化一般矩陣為壓縮型
引言
Givens方法
Householder方法
存儲方案的研究
誤差分析
Givens方法與Householder方法的關(guān)系
初等穩(wěn)定變換
置換的意義
直接約化矩陣為Hessenberg型
結(jié)合交換
數(shù)值例子
誤差分析
有關(guān)的誤差分析
Hessenberg矩陣的劣定
用M''ji型穩(wěn)定矩陣化為Hessenberg型
Krylov方法
逐列Gauss消去法
實(shí)際的困難
對于某些標(biāo)準(zhǔn)的特征值分布的C的條件
級小于n的初始向量
實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)
廣義Hessenberg方法
廣義Hessenberg方法的失敗
Hessenberg方法
實(shí)際的方法
Hessenberg方法與以前的方法的關(guān)系
Arnoldi方法
實(shí)際的考慮
再正交化的重要性
Lanczos方法
過程的故障
數(shù)值例子
實(shí)際的Lanczos方法
數(shù)值例子
非對稱的Lanczos方法的總評述
對稱的Lanczos方法
化Hessenberg矩陣為更壓縮的形式
化下Hessenberg矩陣為三對角型
使用交換
小主元素的影響
誤差分析
應(yīng)用于下Hessenberg型的Hessenberg方法
Hessenberg方法與Lanczos方法的關(guān)系
化一般矩陣為三對角型
和Lanczos方法比較
化矩陣為三對角型的重新考察
化上Hessenberg型為Frobenius型
小主元素的影響
數(shù)值例子
關(guān)于穩(wěn)定性的總評述
特殊的上Hessenberg型
直接確定特征多項(xiàng)式
第七章 壓縮型矩陣的特征值
引言
顯式多項(xiàng)式形式
顯式多項(xiàng)式的條件數(shù)
某些典型的零點(diǎn)分布
Krylov方法的總評述
顯式多項(xiàng)式的總評述
三對角矩陣
Hessenberg矩陣的行列式
舍入誤差的影響
浮點(diǎn)累加
用正交變換計(jì)算
一般矩陣的行列式計(jì)算
廣義特征值問題
間接確定特征多項(xiàng)式
Le Verrier方法
以插值為基礎(chǔ)的迭代拄
漸近收斂率
多重零點(diǎn)
函數(shù)關(guān)系的逆
區(qū)間分半法
Newton法
Newton法與插值法的比較
三次收斂的方法
Laguerre方法
復(fù)零點(diǎn)
復(fù)共軛零點(diǎn)
Bairstow方法
廣義的Bairstow方法
實(shí)際的考慮
舍入誤差對漸近收斂性的影響
區(qū)間分半法
逐次線性插值
多重的和病態(tài)靠近的特征值
其他的插值法
使用導(dǎo)數(shù)的方法
接收零點(diǎn)的準(zhǔn)則
舍入誤差的影響
消除已計(jì)算的零點(diǎn)
Hessenberg矩陣的降階
三對角矩陣的降階
用旋轉(zhuǎn)或穩(wěn)定的初等變換降階
降階的穩(wěn)定性
關(guān)于降階的總評述
消除已計(jì)算的零點(diǎn)
消除已計(jì)算的二次因子
關(guān)于消除零點(diǎn)方法的總評述
漸近收斂率
大范圍的收斂性
復(fù)零點(diǎn)
建議
復(fù)矩陣
含有獨(dú)立參數(shù)的矩陣
第八章 LR和QR算法
引言
有復(fù)特征值的實(shí)矩陣
LR算法
As的收斂性證明
正定Hermite矩陣
復(fù)共軛特征值
引進(jìn)交換
數(shù)值例子
修改過程的收斂性
初始矩陣的預(yù)先約化
上Hessenberg型的不變性
行和列同時運(yùn)算
收斂的加速
結(jié)合原點(diǎn)的移動
選擇原點(diǎn)的移動
矩陣降階
關(guān)于收斂性的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)
改進(jìn)的移動策略
復(fù)共軛特征值
修正的LR算法的缺點(diǎn)
QR算法
QR算法的收斂性
收斂性的正式證明
特征值的不同順序
等模的特征值
LR算法的另一個證明
QR算法的實(shí)際應(yīng)用
原點(diǎn)移動
As的分解
數(shù)值例子
實(shí)際的方法
避免復(fù)共軛位移
用初等Hermite變換的雙步QR
計(jì)算的細(xì)節(jié)
As的分解
LR的雙位移技術(shù)
對LR算法和QR算法的評述
多重特征值
降階法的特殊用途
對稱矩陣
LR算法與QR算法的關(guān)系
Cholesky LR算法的收斂性
QR算法的三次收斂性
Cholesky LR中的原點(diǎn)位移
Cholesky分解失敗
三次收斂的LR方法
帶狀矩陣
帶狀矩陣的QR分解
誤差分析
非對稱帶狀矩陣
在QR算法中同時分解和復(fù)合
縮小帶寬
第九章 迭代法
引言
冪法
單個向量的直接迭代
原點(diǎn)移動
舍入誤差的影響
P的變化
P的特別選擇
Aitken的加速方法
復(fù)共軛特征值
復(fù)特征向量的計(jì)算
原點(diǎn)移動
非線性初等因子
同時決定幾個特征值
復(fù)矩陣
收縮法
用相似變換的收縮法
用不變子空間的收縮法
用穩(wěn)定初等變換的收縮法
用酉變換的收縮法
數(shù)值穩(wěn)定性
數(shù)值例子
酉變換的穩(wěn)定性
非相似變換的收縮法
用不變子空間的一般約化
實(shí)際應(yīng)用
梯級迭代
復(fù)共軛特征值的精度確定
十分靠近的特征值
正交化方法
正交化的梯級迭代
雙迭代
數(shù)值例子
Richardson改進(jìn)方法
矩陣平方法
數(shù)值穩(wěn)定性
Chebyshev多項(xiàng)式的使用
關(guān)于直接迭代的總評述
逆迭代
逆迭代的誤差分析
分析的總評述
特征向量的進(jìn)一步改進(jìn)
非線性初等因子
Hessenberg矩陣的逆迭代
退化情況
帶形矩陣逆迭代
復(fù)共軛特征向量
誤差分析
數(shù)值例子
廣義特征值問題
近似特征值的變更
特征系的改進(jìn)
數(shù)值例子
特征向量的改進(jìn)
復(fù)共軛特征值
重的和非常靠近的特征值
對ACE程序的評述
參考文獻(xiàn)